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#10006

棋盘上的线段·计数最值

计数六年级 #分类讨论 #枚举法 #勾股定理

题目

在一个由 4 × 4 个边长为1厘米的小正方形组成的方格棋盘上，连接两个不同的格点，可以画出多少条长度为整厘米数的线段？（格点是指方格的顶点）

解法

先找出所有可能的整数长度：水平/垂直方向有 1,2,3,4 四种；斜向只有 3-4-5 直角三角形一种。
水平/垂直方向每种长度可以横着放和竖着放，所以乘以 2。
水平方向每行有 (5−L) 种起始位置，5 行共 5(5−L) 种。
加上竖直方向，总数为 2·5(5−L)。
代入公式计算：L=1 得 40 条，L=2 得 30 条，L=3 得 20 条，L=4 得 10 条。
L=1
=2·(5−1)·5 = 40
L=2
=2·(5−2)·5 = 30
L=3
=2·(5−3)·5 = 20
L=4
=2·(5−4)·5 = 10
斜向 3-4-5 只有两个方向（↘和↙），起始位置有 (5−3)(5−4)=2 种，共 2·2=4 条。
L=5 (斜向)
=2·(5−3)(5−4) = 4
合计：40 + 30 + 20 + 10 + 4 = 104 条。
L=1
40
L=2
30
L=3
20
L=4
10
L=5
4

方法

分类讨论按关键特征把所有情况拆成互不重叠且覆盖全体的几类，逐类计算后相加。枚举法按某个顺序把所有可能性“走一遍”，保证不重不漏。勾股定理直角三角形两直角边平方之和 = 斜边平方：a² + b² = c²。

练一练

在一个 3 × 3 的点阵（共 4 × 4 = 16 个点）中，连接两个点，可以画出多少条长度大于2的线段？

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