一道 / edao.plus
#10006

棋盘上的线段·计数最值

六年级计数几何计数
#分类讨论#枚举法#勾股定理#加乘原理
题目

在一个由 4 × 4 个边长为1厘米的小正方形组成的方格棋盘上，连接两个不同的格点，可以画出多少条长度为整厘米数的线段？（格点是指方格的顶点）

解法

  1. 1.4×4的棋盘共有 5×5 = 25 个格点。我们需要找出所有长度为整数（厘米）的线段。

    4×4 的棋盘，格点总数为 5 × 5 = 25 个

  2. 2.长度为整数的线段，其两个端点的水平距离（dx）和垂直距离（dy）的平方和必须是一个完全平方数。即 dx² + dy² 是某个整数的平方。
    L=1
    40
    L=2
    30
    L=3
    20
    L=4
    10
    L=5
    4

    各类整数长度线段的数量分布

  3. 3.在 4×4 的范围内，dx 和 dy 的取值都是从 0 到 4。
  4. 4.我们按可能的整数长度 L 来分类：
    × 104线段总数

    40 + 30 + 20 + 10 + 4 = 104 条

  5. 5.1. L = 1: dx=1, dy=0 或 dx=0, dy=1。
  6. 6.2. L = 2: dx=2, dy=0 或 dx=0, dy=2。
  7. 7.3. L = 3: dx=3, dy=0 或 dx=0, dy=3。
  8. 8.4. L = 4: dx=4, dy=0 或 dx=0, dy=4。
  9. 9.5. L = 5: dx=3, dy=4 或 dx=4, dy=3 (因为 3²+4²=5²)。
  10. 10.对于每一类，计算在 4×4 网格中，给定一个 (dx, dy) 向量，可以有多少种放置方式。放置方式的公式为 (5 − dx) × (5 − dy)。
  11. 11.1. L=1 (1,0) 和 (0,1): 2 × [(5−1)×(5−0)] = 2 × [4×5] = 40 条。
  12. 12.2. L=2 (2,0) 和 (0,2): 2 × [(5−2)×(5−0)] = 2 × [3×5] = 30 条。
  13. 13.3. L=3 (3,0) 和 (0,3): 2 × [(5−3)×(5−0)] = 2 × [2×5] = 20 条。
  14. 14.4. L=4 (4,0) 和 (0,4): 2 × [(5−4)×(5−0)] = 2 × [1×5] = 10 条。
  15. 15.5. L=5 (3,4) 和 (4,3): 2 × [(5−3)×(5−4)] = 2 × [2×1] = 4 条。
  16. 16.总数为：40 + 30 + 20 + 10 + 4 = 104 条。

练一练

在一个 3 × 3 的点阵（共 4 × 4 = 16 个点）中，连接两个点，可以画出多少条长度大于2的线段？