六年级计数
#排除法#容斥原理#分类讨论
题目
甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排拍照，要求甲不站在排头（最左端），乙不站在排尾（最右端）。一共有多少种不同的站法？
解法
- 1.5 人任意排列共 5! = 120 种。
总排法 = 5! = 120 |A| 甲排头 = 4! = 24 |B| 乙排尾 = 4! = 24 |A ∩ B| = 3! = 6 |A ∪ B| = 24 + 24 − 6 = 42 答案 = 120 − 42 = 78 结论 容斥原理：总数 − (A ∪ B)
- 2.设 A = “甲站排头”的排法，|A| = 4! = 24（甲定在 1 号位，剩下 4 人全排）。📸× 78种站法
答案：78
- 3.设 B = “乙站排尾”的排法，|B| = 4! = 24（乙定在 5 号位，剩下 4 人全排）。
- 4.|A ∩ B| = “甲排头且乙排尾”= 3! = 6（两个位置都定了，剩下 3 人全排）。
- 5.由容斥原理：不合要求的排法 |A ∪ B| = 24 + 24 − 6 = 42。
- 6.合要求的 = 120 − 42 = 78 种。
练一练
甲、乙、丙、丁 4 人站成一排，要求甲不站排头、乙不站排尾，一共有多少种站法？