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#10066

多重限制排列·甲不排头乙不排尾

计数六年级 #排除法 #容斥原理 #分类讨论

题目

甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排拍照，要求甲不站在排头（最左端），乙不站在排尾（最右端）。

一共有多少种不同的站法？

解法

容斥：5! − (|A|+|B|−|A∩B|) = 120 − (24+24−6) = 120 − 42 = 78 种。
总排法
=5! = 120
|A| 甲排头
=4! = 24
|B| 乙排尾
=4! = 24
|A ∩ B|
=3! = 6
|A ∪ B|
=24 + 24 − 6 = 42
答案 (结论)
=120 − 42 = 78

方法

排除法正面情况多而杂时，先算总数，再减去“不合要求”的反面——补集思维。容斥原理两圈相交要减重合；三圈相交要“加单、减双、加三”。分类讨论按关键特征把所有情况拆成互不重叠且覆盖全体的几类，逐类计算后相加。

练一练

甲、乙、丙、丁 4 人站成一排，要求甲不站排头、乙不站排尾，一共有多少种站法？

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