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#10032

长方体切割·染色问题

几何五年级 #分类讨论

题目

一个 5×4×3 的长方体木块，由 60 个棱长为 1 的小正方体组成。在其六个面上都涂上红色油漆，然后沿着小正方体的接缝将它全部切开。

请问：恰好有两个面被涂成红色的小正方体有多少个？

解法

按棱分类计数：分别计算长5、长4、长3的棱上的两面涂色小正方体数量，再求和。
长 5 的棱（共 4 条）
=(5 − 2) × 4 = 12
长 4 的棱（共 4 条）
=(4 − 2) × 4 = 8
长 3 的棱（共 4 条）
=(3 − 2) × 4 = 4
合计
=12 + 8 + 4 = 24

方法

分类讨论按关键特征把所有情况拆成互不重叠且覆盖全体的几类，逐类计算后相加。

练一练

将一个 6×6×6 的正方体表面涂色后切成小方块。一面涂色、两面涂色、三面涂色的各有多少个？

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