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#10088

四阶幻方·1 到 16 填 4×4

杂题四年级#累加法#首尾配对
题目

把 1, 2, 3, …, 16 这 16 个数字各用一次，填入 4 × 4 方格中，使每一行、每一列、两条对角线上四个数之和都相等。

求这个公共和（幻和）。

解法

  1. 分析：4 行合在一起恰好覆盖 1 到 16 每个数字一次，所以 4 行之和就是 1 + 2 + … + 16。

  2. 1 + 2 + … + 16 = (1+16) × 16 / 2 = 136（首尾配对）。

  3. 设幻和为 S，则 4S = 136，得 S = 34。

  4. 结论：四阶幻方的幻和为 34。

    一个经典填法（丢勒幻方）：

    16 3 2 13 / 5 10 11 8 / 9 6 7 12 / 4 15 14 1。

    1+2+…+16
    =(1+16)·16/2 = 136
    4S
    =136
    S (幻和)
    =34

方法

累加法把所有行（或列、对角线）的和累加起来，用“总和的总和”反求单元格之和。首尾配对等差数列求和：头尾两两配对，每对和相同，总和 = 对数 × 配对和。

练一练

把 1 到 16 每个数字用一次填入 4×4 幻方。每一行（4 个数）的和是多少？每一列呢？

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