#10091

三阶积幻方·2 的幂

六年级杂题

#累加法#质因数分解

题目

把下面 9 个数字各用一次：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256，填入 3 × 3 方格中，使每一行、每一列、两条对角线上三个数的乘积都相等。问：这个公共乘积（幻积）是多少？

9 个待填数字

解法

1.分析：这 9 个数都是 2 的幂：2⁰, 2¹, 2², …, 2⁸。把每个数『用指数代替』，乘法就转化成指数的加法——于是『积幻方』变成了指数为 0–8 的『和幻方』。
幻积 P = 2^S = （S = 指数幻和）
指数 0+1+…+8 = 36
3S = 36 → S = 12
P = 2¹² = 4096 幻积
2.指数 0, 1, 2, …, 8 相加 = 0+1+…+8 = 36。
2643225616184128
一种积幻方填法（中心 16 = 2⁴）
3.设幻积 = P = 2^S，其中 S 为指数幻和。由 3 行指数和 = 36 得 3S = 36，所以 S = 12。
4.因此 P = 2¹² = 4096。
5.一种填法（把对应指数照着 3 阶幻方 2,7,6 / 9,5,1 / 4,3,8 中每个数减 1 得 1,6,5 / 8,4,0 / 3,2,7，换回 2 的幂即可）：

用 9 个数 3⁰, 3¹, 3², …, 3⁸（即 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561）组三阶积幻方，每行/列/对角线乘积相等。这个幻积是多少？中心格必须填哪个数？