#10133

相似模型·长方形内沙漏切小三角形

题目

如图，长方形 ABCD 的面积为 12。

E 在边 CD 上，且 DE : EC = 1 : 2。连接 AE 与对角线 BD 相交于点 F。

求三角形 DEF 的面积。

解法

分析：AB ∥ DE（都在长方形的对边上），在 F 形成沙漏：△ABF ∼ △EDF。

由 AB = CD = 3DE 知 AB : DE = 3 : 1，故沙漏给 BF : FD = 3 : 1，即 DF : DB = 1 : 4。
△BDE 以 DE 为底、长方形宽为高，△BDE = △BDC · (DE/DC) = (12/2)·(1/3) = 2；再按 △DEF : △DEB = DF : DB = 1 : 4 ⇒ △DEF = 2 · 1/4 = 1/2。
AB : DE
=3 : 1
DF : DB (沙漏相似推论)
=1 : 4
△BDE = (长方形/2) × 1/3
=2
△DEF = 2 × (DF/DB)
=1/2

长方形 ABCD 的面积为 24。

E 在 CD 上且 DE : EC = 1 : 3。AE 与对角线 BD 交于 F。求 △DEF 的面积。