#10133

相似模型·长方形内沙漏切小三角形

五年级几何

#相似模型#面积法

题目

如图，长方形 ABCD 的面积为 12。E 在边 CD 上，且 DE : EC = 1 : 2。连接 AE 与对角线 BD 相交于点 F。求三角形 DEF 的面积。

长方形 ABCD（面积 12）；E 在 CD 上，DE : EC = 1 : 2；AE 与 BD 交于 F（阴影为 △DEF）

解法

1.分析：AB ∥ DE（都在长方形的对边上），在 F 处形成沙漏：△ABF ∼ △EDF。由相似比可得 DF : FB，再与底比结合算出 △DEF。
AB : DE = 3 : 1
DF : DB = 1 : 4 沙漏相似推论
△BDE = (长方形/2) × 1/3 = 2
△DEF = 2 × (DF/DB) = 1/2 答案
沙漏定位 F，再按底比缩放
2.第一步：AB = CD = DE + EC = DE + 2DE = 3DE，所以 AB : DE = 3 : 1。
△DEF 面积=1/2
3.第二步：由沙漏相似 △ABF ∼ △EDF，BF : FD = AB : DE = 3 : 1，即 DF : DB = 1 : 4。
4.第三步：求 △BDE。△BDE 以 DE 为底，高 = 长方形的宽 BC（因 E 在 CD 上、B 在 AB 上对面）。所以 △BDE : △BDC = DE : DC = 1 : 3 ⇒ △BDE = △BDC × 1/3 = (长方形 / 2) × 1/3 = 6 × 1/3 = 2。
5.第四步：△DEF 与 △DEB 同以 DE 为公共底，顶点 F、B 在直线 DB 上 ⇒ 面积比 = DF : DB = 1 : 4 ⇒ △DEF = 2 × 1/4 = 1/2。
6.结论：三角形 DEF 的面积为 1/2。

长方形 ABCD 的面积为 24。E 在 CD 上且 DE : EC = 1 : 3。AE 与对角线 BD 交于 F。求 △DEF 的面积。