#10130

相似模型·沙漏（平行四边形内外延伸）

题目

如图，平行四边形 ABCD 中，AB = 16，AD = 10。

E 在 AD 上且 AE = 4。

连接 BE 并延长，与 CD 所在直线的延长线相交于点 F（F 在 D 的外侧）。求 DF 的长度。

解法

分析：AB ∥ CD（平行四边形的一对对边），而直线 BF 同时过 AB 上的 B 和 CD 延长线上的 F，另一方向上 E 在 AD 上。

这正是典型的“沙漏模型”——两对平行线交出的两个三角形相似。
找相似的两个三角形。考察 △ABE 与 △DFE：· ∠AEB 与 ∠DEF 是对顶角，相等；· AB ∥ DF（DF 落在 CD 所在直线上），所以 ∠BAE = ∠FDE（内错角）。两组角相等 ⇒ △ABE ∼ △DFE。
对应边比。△ABE 中对应 ∠AEB 的边是 AB；△DFE 中对应 ∠DEF 的边是 DF。因此 AB : DF = AE : DE。
代入数值。AE = 4，DE = AD − AE = 10 − 4 = 6。所以 AB : DF = 4 : 6 = 2 : 3。
第四步：AB = 16 ⇒ DF = 16 × 3/2 = 24。
AE / DE
=4 / 6 = 2/3
AB / DF = AE / DE (沙漏相似)
=2/3
DF = 16 × 3/2
=24

平行四边形 ABCD 中，AB = 20，AD = 12。

E 在 AD 上使 AE = 3。连接 BE 延长与 CD 延长线交于 F。求 DF。