#10130

相似模型·沙漏（平行四边形内外延伸）

五年级几何

#相似模型#面积法

题目

如图，平行四边形 ABCD 中，AB = 16，AD = 10。E 在 AD 上且 AE = 4。连接 BE 并延长，与 CD 所在直线的延长线相交于点 F（F 在 D 的外侧）。求 DF 的长度。

平行四边形 ABCD；E 在 AD 上（AE = 4）；BE 延长与 CD 延长线交于 F

解法

1.分析：AB ∥ CD（平行四边形的一对对边），而直线 BF 同时过 AB 上的 B 和 CD 延长线上的 F，另一方向上 E 在 AD 上。这正是典型的「沙漏模型」——两对平行线交出的两个三角形相似。
AE / DE = 4 / 6 = 2/3
AB / DF = AE / DE = 2/3 沙漏相似
DF = 16 × 3/2 = 24 答案
沙漏模型：两个对顶三角形相似，对应边成比例
2.第一步：找相似的两个三角形。考察 △ABE 与 △DFE： · ∠AEB 与 ∠DEF 是对顶角，相等； · AB ∥ DF（DF 落在 CD 所在直线上），所以 ∠BAE = ∠FDE（内错角）。两组角相等 ⇒ △ABE ∼ △DFE。
× 24DF 长度
3.第二步：对应边比。△ABE 中对应 ∠AEB 的边是 AB；△DFE 中对应 ∠DEF 的边是 DF。因此 AB : DF = AE : DE。
4.第三步：代入数值。AE = 4，DE = AD − AE = 10 − 4 = 6。所以 AB : DF = 4 : 6 = 2 : 3。
5.第四步：AB = 16 ⇒ DF = 16 × 3/2 = 24。

平行四边形 ABCD 中 AB = 20，AD = 12。E 在 AD 上使 AE = 3。连接 BE 延长与 CD 延长线交于 F。求 DF。