#10134

相似模型·正方形两中点连线所围四边形

六年级几何

#相似模型#等积变形

题目

如图，正方形 ABCD 的边长为 12。E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点。连接 AF 与 CE 相交于点 G。求四边形 AGCD 的面积。

正方形 ABCD 边长 12；E、F 分别是 AB、BC 中点；G = AF ∩ CE（黄色为四边形 AGCD）

解法

1.分析：四边形 AGCD 由两部分组成——对角线 AC 两侧：AC 以下的 △ACD（正方形的一半），以及 AC 以上由 G 与 AC 围成的 △AGC。只需把 G 的位置定出来即可。
正方形面积 = 144
△ACD = 144 / 2 = 72
G = AF ∩ CE = (8, 8)
△AGC = 24
AGCD = 72 + 24 = 96 答案
用对角线 AC 把四边形分成两块
2.第一步：△ACD 是正方形的一半，面积 = 144 ÷ 2 = 72。
× 96AGCD 面积
3.第二步：求 G 的位置。注意 △ABF 与 △CEB：在正方形中 AB = BC = 12，BF = BC/2 = 6，BE = AB/2 = 6，夹角 ∠ABF = ∠CBE = 90°。所以 △ABF ≌ △CBE（两条直角边分别相等）⇒ ∠BAF = ∠BCE ⇒ AF ⊥ CE。（这一步并不是必须，下面用坐标更直接。）
4.第三步：建坐标系求 G。取 A(0,12), B(12,12), C(12,0), D(0,0), E(6,12), F(12,6)。直线 AF：y = 12 − x/2；直线 CE：y = −2x + 24。联立：12 − x/2 = −2x + 24 ⇒ 3x/2 = 12 ⇒ x = 8, y = 8。G = (8, 8)。
5.第四步：△AGC 面积。A(0,12), G(8,8), C(12,0)：(1/2)|0·(8−0) + 8·(0−12) + 12·(12−8)| = (1/2)|−96 + 48| = 24。
6.第五步：四边形 AGCD = △ACD + △AGC = 72 + 24 = 96。

正方形 ABCD 的边长为 6。E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点。AF 与 CE 相交于 G。求四边形 AGCD 的面积。