#10131

相似模型·正方形中的沙漏与对角线

题目

如图，正方形 ABCD 的边长为 8。

E 是 AD 的中点，对角线 AC 与 BE 相交于点 F。

求三角形 CEF 的面积。

解法

分析：AD ∥ BC（正方形的对边），所以在 F 点处，直线 AC 与直线 DE 形成“沙漏”的两组平行线之一：考察 △AFD 与 △CFE，它们通过对顶角 + 平行内错角形成相似。
∠AFD = ∠CFE（对顶角）；AD ∥ CE（都在正方形的对边上） ⇒ ∠DAF = ∠ECF。故 △AFD ∼ △CFE。
对应边 AD : CE = 6 : 3 = 2 : 1。所以 AF : FC = DF : FE = 2 : 1。
用 AF : FC = 2 : 1 求 △DFC。△DAC 是正方形一半，面积 = 36 ÷ 2 = 18。F 在对角线 AC 上且 FC : AC = 1 : 3；△DFC 与 △DAC 同以 D 为顶点、底分别在 AC 上 ⇒ △DFC = 18 × 1/3 = 6。
结论：三角形 DFC 的面积为 6。
AD : CE (沙漏相似)
=2 : 1
AF : FC
=2 : 1
△DAC = 正方形 / 2
=18
△DFC = 18 × 1/3
=6

正方形 ABCD 边长为 6。

E 是 AD 中点，对角线 AC 与 BE 交于 F。求 △CEF 面积。