#10131

相似模型·正方形中的沙漏与对角线

六年级几何

#相似模型#面积法

题目

如图，正方形 ABCD 的边长为 6。E 是边 BC 的中点。连接 DE 与对角线 AC 相交于点 F。求三角形 DFC 的面积。

正方形 ABCD 边长 6；E 为 BC 中点；F = DE ∩ AC

解法

1.分析：AD ∥ BC（正方形的对边），所以在 F 点处，直线 AC 与直线 DE 形成「沙漏」的两组平行线之一：考察 △AFD 与 △CFE，它们通过对顶角 + 平行内错角形成相似。
AD : CE = 2 : 1 沙漏相似
AF : FC = 2 : 1
△DAC = 正方形 / 2 = 18
△DFC = 18 × 1/3 = 6 答案
用沙漏求得 F 在 AC 上的位置，再等高三角形按底比缩放
2.第一步：∠AFD = ∠CFE（对顶角）；AD ∥ CE（都在正方形的对边上） ⇒ ∠DAF = ∠ECF。故 △AFD ∼ △CFE。
× 6△DFC 面积
3.第二步：对应边 AD : CE = 6 : 3 = 2 : 1。所以 AF : FC = DF : FE = 2 : 1。
4.第三步：用 AF : FC = 2 : 1 求 △DFC。△DAC 是正方形一半，面积 = 36 ÷ 2 = 18。F 在对角线 AC 上且 FC : AC = 1 : 3；△DFC 与 △DAC 同以 D 为顶点、底分别在 AC 上 ⇒ △DFC = 18 × 1/3 = 6。
5.结论：三角形 DFC 的面积为 6。

正方形 ABCD 边长为 12。E 是 BC 上一点，BE : EC = 2 : 1。DE 与对角线 AC 交于 F。求 △DFC 的面积。