#10136

燕尾模型·正方形两中点连线交点

题目

如图，正方形 ABCD 的面积为 120。

E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点。连接 AF 与 CE 相交于点 G。

求三角形 BGF 的面积。

解法

分析：G 在两条塞瓦线 AF 与 CE 的交点上。在 △ABC 中（把正方形对角线 AC 看成一条辅助线），F 在 BC 上、E 在 AB 上，AF、CE 是两条塞瓦线。

用燕尾定理可以算出 G 把 △ABC 分成的三块比例，再和正方形面积挂钩。
△ABC 是正方形的一半 = 120 ÷ 2 = 60。
燕尾：· 塞瓦线 AF（F 在 BC 上），BF : FC = 1 : 1 ⇒ △ABG : △ACG = 1 : 1。· 塞瓦线 CE（E 在 AB 上），AE : EB = 1 : 1 ⇒ △ACG : △BCG = 1 : 1。

所以 △ABG : △ACG : △BCG = 1 : 1 : 1，每块 = 60 ÷ 3 = 20。
把 △BCG 按 F 在 BC 上的位置拆。△BFG 与 △CFG 同以 G 为顶点、底在 BC 上 ⇒ 比 = BF : FC = 1 : 1 ⇒ △BFG = △BCG ÷ 2 = 10。
结论：△BGF 的面积为 10。
△ABC = 正方形 / 2
=60
△ABG : △ACG : △BCG (双中点 ⇒ 三等分)
=1 : 1 : 1
△BCG = 60 / 3
=20
△BFG = △BCG × 1/2
=10

正方形 ABCD 面积为 72。

E 是 AB 中点，F 是 BC 中点。AF 与 CE 交于 G。求 △BGF 的面积。