#10136

燕尾模型·正方形两中点连线交点

六年级几何

#燕尾模型#等积变形

题目

如图，正方形 ABCD 的面积为 120。E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点。连接 AF 与 CE 相交于点 G。求三角形 BGF 的面积。

正方形 ABCD 面积 120；E、F 分别是 AB、BC 中点；G = AF ∩ CE（红色为 △BGF）

解法

1.分析：G 在两条 cevian AF 与 CE 的交点上。在 △ABC 中（把正方形对角线 AC 看成一条辅助线），F 在 BC 上、E 在 AB 上，AF、CE 是两条 cevian。用燕尾定理可以算出 G 把 △ABC 分成的三块比例，再和正方形面积挂钩。
△ABC = 正方形 / 2 = 60
△ABG : △ACG : △BCG = 1 : 1 : 1 双中点 ⇒ 三等分
△BCG = 60 / 3 = 20
△BFG = △BCG × 1/2 = 10 答案
G 是 △ABC 的「重心型」三等分点
2.第一步：△ABC 是正方形的一半 = 120 ÷ 2 = 60。
× 10△BGF 面积
3.第二步：燕尾： · cevian AF（F 在 BC 上），BF : FC = 1 : 1 ⇒ △ABG : △ACG = 1 : 1。 · cevian CE（E 在 AB 上），AE : EB = 1 : 1 ⇒ △ACG : △BCG = 1 : 1。所以 △ABG : △ACG : △BCG = 1 : 1 : 1，每块 = 60 ÷ 3 = 20。
4.第三步：把 △BCG 按 F 在 BC 上的位置拆。△BFG 与 △CFG 同以 G 为顶点、底在 BC 上 ⇒ 比 = BF : FC = 1 : 1 ⇒ △BFG = △BCG ÷ 2 = 10。
5.结论：△BGF 的面积为 10。

正方形 ABCD 面积为 72。E 是 AB 中点，F 是 BC 中点。AF 与 CE 交于 G。求 △BGF 的面积。