#10139

燕尾模型·由一块面积反求整体

六年级几何

#燕尾模型#等积变形

题目

如图，三角形 ABC 中，D 在 BC 上使 BD : DC = 1 : 2；E 在 AC 上使 AE : EC = 2 : 3。AD 与 BE 相交于点 F。已知三角形 BDF 的面积为 4，求三角形 ABC 的面积。

两条 cevian AD、BE 交于 F；△BDF（红色）已知为 4

解法

1.分析：想由 △BDF 反推 △ABC，可以先用燕尾定理给出 △ABF : △ACF : △BCF 的比例，把 △BDF 写成 △BCF 的一部分，再反求整体面积。
△ABF : △ACF : △BCF = 2 : 4 : 3 燕尾
△BDF = △BCF × 1/3 = k
k = 4 由已知 △BDF = 4
△ABC = 9k = 36 答案
燕尾把 △ABC 分成 2+3+4=9 份；△BDF 正好是其中 1 份
2.第一步：燕尾。 · cevian AD（D 在 BC 上）：△ABF : △ACF = BD : DC = 1 : 2。 · cevian BE（E 在 AC 上）：△ABF : △BCF = AE : EC = 2 : 3。
△BDF
4
△BCF = 3·△BDF
12
△ABF
8
△ACF
16
△ABC
36
3.第二步：设 △ABF = 2k。则 △ACF = 4k（由 1:2）、△BCF = 3k（由 2:3）。整体 △ABC = 2k + 3k + 4k = 9k。
× 36△ABC 面积
4.第三步：把 △BCF 按 D 在 BC 上的位置拆成 △BDF 和 △CDF： △BDF : △CDF = BD : DC = 1 : 2 ⇒ △BDF = △BCF / 3 = 3k / 3 = k。
5.第四步：代入 △BDF = k = 4 ⇒ △ABC = 9k = 36。

三角形 ABC 中 D 在 BC 上 BD : DC = 1 : 3；E 在 AC 上 AE : EC = 1 : 1（E 是 AC 中点）。AD 与 BE 交于 F。若 △BDF = 3，求 △ABC 的面积。