#10138

燕尾模型·中点与三等分点组合

题目

如图，三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E、F 是 BC 的三等分点（BE = EF = FC，E 靠近 B）。

连接 AE 与 BD 相交于点 M。

已知 △ABC 的面积为 1，求四边形 CDMF 的面积。

解法

分析：M 是塞瓦线 AE、BD 的交点。燕尾定理：由 BE : EC = 1 : 2 得 △ABM : △ACM = 1 : 2；由 AD : DC = 1 : 1 得 △ABM : △BCM = 1 : 1。

设 △ABM = k，则 △ACM = 2k、△BCM = k，总 △ABC = 4k = 1，k = 1/4。
再按 D、F 位置两次拆块：△CDM = △ACM · (DC/AC) = 2k · 1/2 = k = 1/4；△CFM = △BCM · (CF/CB) = k · 1/3 = 1/12。
CDMF = 1/4 + 1/12 = 1/3。
△ABM : △ACM : △BCM (燕尾)
=1 : 2 : 1
△CDM = △ACM × 1/2
=1/4
△CFM = △BCM × 1/3
=1/12
CDMF = 1/4 + 1/12
=1/3
△ABM
1
△ACM
2
△BCM
1
CDMF
1.33

三角形 ABC 面积为 60。D 是 AC 中点，E、F 三等分 BC（BE = EF = FC）。

AE 与 BD 交于 M。求 △CFM 的面积。