#10138

燕尾模型·中点与三等分点组合

六年级几何

#燕尾模型#等积变形

题目

如图，三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E、F 是 BC 的三等分点（BE = EF = FC，E 靠近 B）。连接 AE 与 BD 相交于点 M。已知 △ABC 的面积为 1，求四边形 CDMF 的面积。

D 是 AC 中点；E、F 三等分 BC；M = AE ∩ BD（黄色为四边形 CDMF）

解法

1.分析：M 是 AE 与 BD 这两条 cevian 的交点。先用燕尾定理算出 M 把 △ABC 分成的三块比例，再把需要的 △ACM 按 D 的位置拆、把 △BCM 按 F 的位置拆即可得到 CDMF = △CDM + △CMF。
△ABM : △ACM : △BCM = 1 : 2 : 1 燕尾
△CDM = △ACM × 1/2 = 1/4
△CFM = △BCM × 1/3 = 1/12
CDMF = 1/4 + 1/12 = 1/3 答案
先用燕尾取块，再按底比两次缩放
2.第一步：燕尾。 · cevian AE（E 在 BC 上），BE : EC = 1 : 2 ⇒ △ABM : △ACM = 1 : 2。 · cevian BD（D 在 AC 上），AD : DC = 1 : 1 ⇒ △ABM : △BCM = 1 : 1。
△ABM
1
△ACM
2
△BCM
1
CDMF
1.33
以 k = △ABC/4 为单位的分布
3.第二步：设 △ABM = 1k。则 △ACM = 2k、△BCM = 1k。总 △ABC = 4k = 1 ⇒ k = 1/4。
× 1/3CDMF 面积
4.第三步：把 △ACM 按 D 在 AC 上的位置拆。D 是 AC 中点 ⇒ △CDM : △ADM = DC : DA = 1 : 1 ⇒ △CDM = △ACM ÷ 2 = k = 1/4。
5.第四步：把 △BCM 按 F 在 BC 上的位置拆。F 满足 CF : CB = 1 : 3 ⇒ △CFM : △BCM = CF : CB = 1 : 3 ⇒ △CFM = △BCM / 3 = k/3 = 1/12。
6.第五步：CDMF = △CDM + △CMF = 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3。
7.结论：四边形 CDMF 的面积为 1/3。

三角形 ABC 面积为 60。D 是 AC 中点，E、F 三等分 BC（BE = EF = FC）。AE 与 BD 交于 M。求 △CFM 的面积。