#10135

燕尾模型·两条 cevian 围出的四边形

六年级几何

#燕尾模型#等积变形

题目

如图，三角形 ABC 中，D 在 BC 上，BD : DC = 1 : 2；E 在 AC 上，AE : EC = 2 : 3。AD 与 BE 相交于点 F。已知四边形 DFEC 的面积为 22，求三角形 ABC 的面积。

两条 cevian AD、BE 交于 F；四边形 DFEC（黄色）已知为 22

解法

1.分析：AD、BE 两条 cevian 交于 F，把 △ABC 分成四块：△ABF、△BDF、四边形 DFEC、△AEF。先用燕尾定理求出 △ABC 被 F 分成的 △ABF : △BCF : △ACF，再把 △BCF 和 △ACF 分别按 D、E 的位置拆出 DFEC 占 △ABC 的比例。
△ABF : △ACF : △BCF = 2 : 4 : 3 燕尾
△BDF : △CDF = 1 : 2 BD : DC
△AEF : △CEF = 2 : 3 AE : EC
DFEC = △CDF + △CEF = 2k + 12k/5 = 22k/5
22k/5 = 22 = k = 5
△ABC = 9k = 45 答案
燕尾三块 + 两条 cevian 各自的底比，即可写出 DFEC 的比例
2.第一步：燕尾定理。 · 由 cevian AD（D 在 BC 上）：△ABF : △ACF = BD : DC = 1 : 2。 · 由 cevian BE（E 在 AC 上）：△ABF : △BCF = AE : EC = 2 : 3。
△ABF
10
△BDF
5
△AEF
8
DFEC
22
△ABC
45
四块面积之和 = 45
3.第二步：设 △ABF = 2k。则 △ACF = 4k（由比 1:2）、△BCF = 3k（由比 2:3）。整体 △ABC = 2k + 3k + 4k = 9k。
× 45△ABC 面积
4.第三步：把 △BCF 按 D 在 BC 上的位置拆。△BDF 与 △CDF 同以 F 为顶点、底在 BC 上 ⇒ 比 = BD : DC = 1 : 2 ⇒ △BDF = k，△CDF = 2k。
5.第四步：把 △ACF 按 E 在 AC 上的位置拆。△AEF 与 △CEF 同以 F 为顶点、底在 AC 上 ⇒ 比 = AE : EC = 2 : 3 ⇒ △AEF = 8k/5，△CEF = 12k/5。
6.第五步：四边形 DFEC = △CDF + △CEF = 2k + 12k/5 = 22k/5。
7.第六步：代入 22k/5 = 22 ⇒ k = 5 ⇒ △ABC = 9k = 45。

三角形 ABC 中 D 在 BC 上，BD : DC = 1 : 1（D 为 BC 中点）；E 在 AC 上 AE : EC = 1 : 2。AD 与 BE 交于 F。若 △ABC 面积为 30，求四边形 DFEC 的面积。