#10135

燕尾模型·两条塞瓦线围出的四边形

题目

如图，三角形 ABC 中，D 在 BC 上，BD : DC = 1 : 2；E 在 AC 上，AE : EC = 2 : 3。

AD 与 BE 相交于点 F。

已知四边形 DFEC 的面积为 22，求三角形 ABC 的面积。

解法

分析：F 是 AD、BE 的交点。用燕尾定理得 △ABF : △ACF = BD : DC = 1 : 2，△ABF : △BCF = AE : EC = 2 : 3；

设 △ABF = 2k，则 △ACF = 4k、△BCF = 3k，总 △ABC = 9k。
把 △BCF 按 D 点拆成 △BDF = k、△CDF = 2k；把 △ACF 按 E 点拆成 △AEF = 8k/5、△CEF = 12k/5。
DFEC = △CDF + △CEF = 2k + 12k/5 = 22k/5 = 22 ⇒ k = 5，△ABC = 9k = 45。
△ABF : △ACF : △BCF (燕尾)
=2 : 4 : 3
△BDF : △CDF (BD : DC)
=1 : 2
△AEF : △CEF (AE : EC)
=2 : 3
DFEC = △CDF + △CEF
=2k + 12k/5 = 22k/5
22k/5 = 22
=k = 5
△ABC = 9k
=45
△ABF
10
△BDF
5
△AEF
8
DFEC
22
△ABC
45

三角形 ABC 中，D 在 BC 上，BD : DC = 1 : 1（D 为 BC 中点）；E 在 AC 上，AE : EC = 1 : 2。

AD 与 BE 交于 F。若 △ABC 面积为 30，求四边形 DFEC 的面积。