#10137

燕尾模型·三条塞瓦线围成的中心三角形

题目

如图，三角形 ABC 中：

连接三条塞瓦线 AE、BF、CD，它们两两相交形成一个中心小三角形 GHI。

证明：△ABC 的面积恰好是 △GHI 面积的 7 倍。

解法

分析：高中/竞赛中的 Routh 定理给出一般结论。
设三条塞瓦线分别把三边分成比例 x = BD/DA = 2、y = CE/EB = 2、z = AF/FC = 2（沿同方向循环）。

中心三角形与原三角形面积比为：△GHI / △ABC = (xyz − 1)² / [(xy + y + 1)(yz + z + 1)(zx + x + 1)]。
代入 x = y = z = 2：分子 (2·2·2 − 1)² = 7² = 49；分母 (4 + 2 + 1)³ = 7³ = 343；比 = 49/343 = 1/7。
x = y = z
=2
(xyz − 1)² / (xy + y + 1)³
=49 / 343 = 1/7

三角形 ABC 面积为 49。D、E、F 分别在 AB、BC、CA 上，且 BD = 2DA、CE = 2EB、AF = 2FC。三条塞瓦线 AE、BF、CD 围出中心三角形 GHI。

求 △GHI 的面积。