六年级几何
#燕尾模型#等积变形
题目
如图，三角形 ABC 中，D 在 AB 上使 BD = 2·DA（即 DA : DB = 1 : 2）；E 在 BC 上使 CE = 2·EB（即 EB : EC = 1 : 2）；F 在 CA 上使 AF = 2·FC（即 FC : FA = 1 : 2）。连接三条 cevian AE、BF、CD，它们两两相交形成一个中心小三角形 GHI。证明：△ABC 的面积恰好是 △GHI 面积的 7 倍。
解法
- 1.分析：三条 cevian AE、BF、CD 把 △ABC 分成 1 个中心小三角形 △GHI 加 3 个外围小三角形（各自贴着一个顶点）加 3 个四边形（各自贴着一条边）。核心思路：先用燕尾定理算出每个 cevian 把 △ABC 分成两块的比例，把 △ABC 看作 21 份等分，然后逐块累加。
I (AE ∩ BF) = (2/7, 1/7) G (BF ∩ CD) = (4/7, 2/7) H (CD ∩ AE) = (1/7, 4/7) △GHI / △ABC = 1/7 答案 三个交点都恰好是「七分之若干」的形式，结果 1/7
- 2.第一步：设 G = BF ∩ CD，H = CD ∩ AE，I = AE ∩ BF。📐× 7△ABC = 7·△GHI
- 3.第二步：对于 cevian CD，D 在 AB 上且 DA : DB = 1 : 2，所以它把 △ABC 分成 △CAD : △CBD = 1 : 2。
- 4.第三步：对 G = BF ∩ CD 用燕尾。在 △ABC 中以 G 为内点考察两条过 G 的 cevian CD、BF： · △BCG : △BAG = CD 的分点位置 = DA : DB？——更直接：G 在 CD 上，所以 △BCG : △ACG = BG 所对的 ... 用坐标更稳妥。
- 5.第四步：建系核算。取 A(0, 1)、B(0, 0)、C(1, 0)（△ABC 面积 = 1/2）。D 在 AB 上 DA:DB = 1:2 ⇒ D = (0, 2/3)。E 在 BC 上 EB:EC = 1:2 ⇒ E = (1/3, 0)。F 在 CA 上 FC:FA = 1:2 ⇒ F = (2/3, 1/3)。
- 6.第五步：三条直线方程。 · AE：从 (0,1) 到 (1/3,0)，方程 y = 1 − 3x。 · BF：从 (0,0) 到 (2/3,1/3)，方程 y = x/2。 · CD：从 (1,0) 到 (0,2/3)，方程 y = (2/3)(1 − x) = 2/3 − 2x/3。
- 7.第六步：两两求交点。 · I = AE ∩ BF：1 − 3x = x/2 ⇒ 7x/2 = 1 ⇒ x = 2/7, y = 1/7。I = (2/7, 1/7)。 · G = BF ∩ CD：x/2 = 2/3 − 2x/3 ⇒ 3x/6 + 4x/6 = 2/3 ⇒ 7x/6 = 2/3 ⇒ x = 4/7, y = 2/7。G = (4/7, 2/7)。 · H = CD ∩ AE：1 − 3x = 2/3 − 2x/3 ⇒ 1 − 2/3 = 3x − 2x/3 = 7x/3 ⇒ x = 1/7, y = 4/7。H = (1/7, 4/7)。
- 8.第七步：△GHI 面积 = (1/2)|x_G(y_H − y_I) + x_H(y_I − y_G) + x_I(y_G − y_H)| = (1/2)|(4/7)(4/7 − 1/7) + (1/7)(1/7 − 2/7) + (2/7)(2/7 − 4/7)| = (1/2)|(4/7)(3/7) + (1/7)(−1/7) + (2/7)(−2/7)| = (1/2)|12/49 − 1/49 − 4/49| = (1/2)·(7/49) = 1/14。
- 9.第八步：对比 △ABC = 1/2，比值为 (1/14) / (1/2) = 1/7。
- 10.结论：△ABC = 7 × △GHI，命题得证。
练一练
三角形 ABC 面积为 49。D、E、F 分别在 AB、BC、CA 上，BD = 2DA、CE = 2EB、AF = 2FC。三条 cevian AE、BF、CD 围出中心三角形 GHI。求 △GHI 的面积。