六年级杂题
#累加法#比较法#分类讨论
题目
在一个 3 × 3 方格中填入 1 到 9 各一次。方格中含有 4 个 2 × 2 的子方格（左上、右上、左下、右下），每个子方格都包含 4 个格子。要求这 4 个 2 × 2 子方格内 4 数之和都相等，记为 S。问：S 的最小可能值是多少？请给出一种使 S 达到最小的具体填法。
解法
- 1.分析：把格子按 3 × 3 编号 a_{ij}（i, j ∈ {1,2,3}）。四个 2×2 子方是
TL = a₁₁+a₁₂+a₂₁+a₂₂；TR = a₁₂+a₁₃+a₂₂+a₂₃；BL = a₂₁+a₂₂+a₃₁+a₃₂；BR = a₂₂+a₂₃+a₃₂+a₃₃。
4S = 45 + 3c + E c = 1 ⇒ E ≡ 0 (mod 4) = 最小 E = 2+3+4+7 = 16 4S = 64 ⇒ S = 16 最小 - 2.把 4 个子方加起来得到 4S。数每格被算了几次：中心 a₂₂ 算 4 次；4 个角（a₁₁, a₁₃, a₃₁, a₃₃）各算 1 次；4 个边中（a₁₂, a₂₁, a₂₃, a₃₂）各算 2 次。538714629
一种达到 S = 16 的填法（中心 = 1）
- 3.设中心为 c，边中 4 数之和为 E。由于 角 + 边中 + 中 = 1+2+…+9 = 45，角和 = 45 − c − E。
- 4.于是 4S = 4c + (45 − c − E) + 2E = 45 + 3c + E。
- 5.要使 4S 是 4 的倍数：45 + 3c + E ≡ 0 (mod 4) ⇒ 3c + E ≡ 3 (mod 4) ⇒ 边中 E ≡ 3 − 3c (mod 4)。
- 6.要让 S 尽量小，就让 3c + E 尽量小。c 取 1（最小）时，E 应被 4 整除（因为 3 − 3 = 0）。从 {2,3,…,9} 中任取 4 个数作 E，其能被 4 整除的最小和是 2+3+4+7 = 16。于是 4S = 45 + 3 + 16 = 64，S = 16。
- 7.需验证存在具体填法。取 c = 1，边中 E = {2, 3, 4, 7}（和 16），角 = {5, 6, 8, 9}（和 28）。
- 8.四条两两相等的约束等价于：每相邻两个 2×2 的差为 0，推得 a₁₁+a₂₁ = a₁₃+a₂₃ 等四个配对等式。配合枚举可找到一组合法填法： 5 3 8 7 1 4 6 2 9。
- 9.验证：TL = 5+3+7+1 = 16；TR = 3+8+1+4 = 16；BL = 7+1+6+2 = 16；BR = 1+4+2+9 = 16。全部 = 16 ✓。
- 10.结论：S 的最小可能值是 16，上述填法达到。
练一练
在 3×3 方格中填入 1–9 各一次，使 4 个 2×2 子方的和都相等。S 的最大可能值是多少？请给出中心格填的数。