五年级杂题
#累加法#比较法#分类讨论
题目
把 1, 2, 3, 4, 5, 6 这 6 个数字各用一次，填入三角形的 3 个顶点和 3 条边的中点，使三角形每条边上 3 个数字（两端顶点 + 中点）之和都相等。问：这个公共边和 S 的最大值是多少？此时 3 个顶点上的数字之和等于多少？请给出一种使 S 达到最大的具体填法。
解法
- 1.分析：设 3 顶点之和为 V。每个顶点属于 2 条边，每个边中点属于 1 条边。三条边之和 = 2V + (中点和) = 2V + (21 − V) = V + 21。
3S = V + 21 V 最大 = 4+5+6 = 15 S 最大 = 12 最大 - 2.又 3 条边和都等于 S，所以 3S = V + 21，即 S = (V + 21) / 3。
- 3.要 S 最大，只需 V 最大且 V + 21 被 3 整除。V 由 3 个不同的 {1,…,6} 元素组成，V 最大 = 4+5+6 = 15。
- 4.15 + 21 = 36，36 / 3 = 12。所以 S 的最大值 = 12，此时顶点和 V = 15（顶点取 {4, 5, 6}）。
- 5.此时边中点只能是剩余的 {1, 2, 3}。按『对边中点 + 两端顶点 = 12』配法：4 与 5 之间的边缺 12 − 4 − 5 = 3；4 与 6 之间缺 12 − 4 − 6 = 2；5 与 6 之间缺 12 − 5 − 6 = 1。正好 {1, 2, 3}。
- 6.填法：顶点 4, 5, 6；4–5 边中点 3；4–6 边中点 2；5–6 边中点 1。每条边和均为 12。
练一练
在相同的三角形 6 格数阵（填 1–6）中，S 的最小可能值是多少？此时 3 个顶点上的数之和 V 是多少？