五年级杂题
#累加法#比较法
题目
如图 3 个圆两两相交、互不三圆同交：每两个圆恰好共用 1 格（共 3 个这样的『两两交』格），每圆另有 3 个独占格，共 3 + 3×3 = 12 格。把 1, 2, 3, …, 12 各用一次填入这 12 格，使每个圆内的 5 个数字（3 个独占 + 2 个两两交）之和都相等。请问：3 个『两两交』格上数字的和 O 必须满足什么条件？请给出一种可行的 S 与对应的填法思路。
解法
- 1.分析：设 3 个『两两交』格上的数分别是 a, b, c（它们各属于两个圆），其他 9 格每格只属于 1 圆。把 3 个圆的和相加：a, b, c 各算 2 次，其他 9 个数各算 1 次。
3S = O + 78 O 为 3 的倍数 = O ∈ {6, 9, 12, …, 33} - 2.3S = 2(a+b+c) + (12 数总和 − (a+b+c)) = (a+b+c) + 78。
- 3.记 O = a + b + c，则 3S = O + 78，即 O 必须是 3 的倍数。
- 4.O 的取值范围：最小 1+2+3 = 6，最大 10+11+12 = 33。其中 3 的倍数有 {6, 9, 12, …, 33}。
- 5.每个合法 O 对应 S = (O + 78) / 3。例如 O = 12（取 a,b,c = {1,4,7}），S = 30；剩余 9 数 {2,3,5,6,8,9,10,11,12} 分为 3 组每组 3 数，每组之和 = S − (a+b 或 b+c 等两两交之和)——具体分配可枚举获得。
练一练
3 圆两两相交共 12 格填 1–12，每圆 5 数和相等。问每圆最小的和 S 是多少？此时 3 个两两交格的和 O 是多少？