六年级杂题
#奇偶性
题目
一张 8 × 8 的国际象棋棋盘（按黑白相间涂色），去掉位于一条对角线上两端的两个方格（即左上角和右下角）。剩下 62 个方格。每张 1 × 2 的长方形骨牌恰好覆盖相邻的两个方格。问：能否用 31 张这样的骨牌，恰好不重不漏地覆盖剩下的 62 个方格？请说明理由。
解法
- 1.分析：国际象棋棋盘黑白相间，总共 8 × 8 = 64 格，其中黑格 32 个、白格 32 个。关键观察是：每一张 1 × 2 骨牌无论横放还是竖放，都同时覆盖 1 个黑格 + 1 个白格——因为相邻的两格颜色必不同。
原棋盘 = 32 黑 + 32 白 = 64 去掉同色两格 = 30 黑 + 32 白 = 62 31 张骨牌能覆盖 = 31 黑 + 31 白 黑白不相等 = 矛盾 不可能 骨牌必盖一黑一白，黑白数须相等
- 2.要考察去掉的两个方格（左上角和右下角）是什么颜色。在标准涂色下（例如 a1 为黑），对角线两端的颜色相同——左上角和右下角同为黑色（或同为白色）。❌× 不能覆盖结论
不可能用 31 张骨牌铺满
- 3.所以剩余 62 格中，黑格少了 2 个、白格没少，变成 30 黑 + 32 白（或反过来：32 + 30），黑白不再相等。
- 4.若能用 31 张骨牌覆盖，那么这 31 张骨牌会覆盖 31 黑 + 31 白，黑白数量必须相等。但实际是 30 黑 + 32 白，黑白不等，矛盾。
- 5.因此不可能用 31 张 1 × 2 骨牌恰好覆盖这 62 格。
练一练
把 8 × 8 棋盘去掉“位于同一行、同一边的相邻两格”（比如 a1 和 a2 两格），其他规则不变。问能否用 31 张 1 × 2 骨牌恰好铺满剩下的 62 格？