三年级数论奇偶性
#翻杯子
题目
桌上有 5 个杯子，全部杯口朝上。每次同时翻转 3 个杯子，经过若干次操作后，能否使所有杯子杯口朝下？
解法
- 1.把朝上记为 1、朝下记为 0。目标：让 5 个 1 全部变成 0。
初始状态：5 个杯子全部杯口朝上（1 的个数为 5，奇数）
- 2.每次翻转 3 只：其中每只都在 0/1 之间跳一次。
操作次数 1的个数 奇偶性 结论 0 (初始) “5” ✗ 1 “2 或 4 或 6” ✓ 2 “1 或 3 或 5” ✗ 3 “0 或 2 或 4” ✓ 每次翻转 3 个杯子，1 的个数的奇偶性必然改变。目标 0 是偶数，需要奇数次操作。
- 3.第一步·判奇偶：翻转 3 只让「朝上的个数」变化 ±1 或 ±3，奇偶性每次都改变。
翻转过程示意：每次翻转 3 个杯子，奇偶性必然改变
- 4.初始有 5 个 1（奇），目标 0 个 1（偶）。奇 → 偶，必须经过 **奇数** 次操作。
操作 翻哪 3 只 共 3 次 此次贡献 第 1 次 “① ④ ⑤” ? ① +1，④ +1，⑤ +1 第 2 次 “② ④ ⑤” ? ② +1，④ +1，⑤ +1 第 3 次 “③ ④ ⑤” ? ③ +1，④ +1，⑤ +1 各杯累计翻转：① ② ③ 各 1 次；④ ⑤ 各 3 次；全部奇数 ⇒ 全部由朝上变朝下
3 次操作的具体构造
- 5.第二步·判翻转总次数：每只要从 1 变 0 都得翻奇数次；5 只的翻转次数总和 = 5 个奇数相加 = 奇数。✅× 可以能否实现+🔄× 3最少操作次数
答：可以；最少 3 次
- 6.同时每次操作贡献 3 次翻转，总翻转次数 = 3 × 操作次数，是 3 的倍数。
- 7.所以需要：3 × 操作次数 = 奇数，即操作次数是奇数（与第一步一致）。
- 8.第三步·构造 3 次方案（存在性）：标记杯子为 ①②③④⑤。
- 9.操作 1：翻 ①④⑤；操作 2：翻 ②④⑤；操作 3：翻 ③④⑤。
- 10.计数：① 翻 1 次、② 翻 1 次、③ 翻 1 次、④ 翻 3 次、⑤ 翻 3 次——全部奇数 ✓。
- 11.结论：可以实现，最少 3 次操作。
练一练
桌上有 4 个杯子，全部杯口朝上。每次同时翻转 3 个杯子，能否使所有杯子杯口朝下？