五年级杂题
#枚举法#递推法
题目
把 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 这 7 个数字各用一次填入圆周上依次排列的 7 个圆 A₁, A₂, …, A₇（首尾相接）。已知相邻两圆上的数字之差的绝对值依次为： |A₂ − A₁| = 2, |A₃ − A₂| = 1, |A₄ − A₃| = 3, |A₅ − A₄| = 1, |A₆ − A₅| = 3, |A₇ − A₆| = 1, |A₁ − A₇| = 5。 若规定 A₁ = 1，请从 A₁ 开始顺时针写出 7 个圆上的数字。
解法
- 1.分析：记 A_{k+1} − A_k = ε_k · d_k，其中 d = (2, 1, 3, 1, 3, 1, 5) 为给定的 7 个绝对差，ε_k ∈ {+1, −1}。由于圆周闭合，所有带号差之和为 0：Σ ε_k d_k = 0。
A₁ = 1 = A₂ = 1 + 2 = 3 A₃ = 3 − 1 = 2 A₄ = 2 + 3 = 5 A₅ = 5 − 1 = 4 A₆ = 4 + 3 = 7 A₇ = 7 − 1 = 6 |A₁ − A₇| = |1 − 6| = 5 ✓ 签名 (+,−,+,−,+,−,−)；正步和 = 负步和 = 8
- 2.设取 +1 的那些 d_k 之和为 P，取 −1 的为 N。那么 P − N = 0 且 P + N = 2+1+3+1+3+1+5 = 16。于是 P = N = 8。
- 3.从 {2, 1, 3, 1, 3, 1, 5} 中挑出子集和为 8 的方法（表示『正向前进』的步）：{2, 3, 3} 或 {2, 1, 5} 或 {3, 5} 或 {1, 1, 1, 5} 等。
- 4.由 A₁ = 1 且所有 A_k 都要落在 {1, …, 7} 内不重复，我们逐步试：A₁ = 1 小，多半第一步需『加』。试 ε₁ = +1 → A₂ = 3。
- 5.继续：ε₂ = −1 → A₃ = 2；ε₃ = +1 → A₄ = 5；ε₄ = −1 → A₅ = 4；ε₅ = +1 → A₆ = 7；ε₆ = −1 → A₇ = 6；ε₇ = −1 → A₁' = 6 − 5 = 1 ✓。
- 6.核对：签名序列 (+, −, +, −, +, −, −)，正步之和 = 2+3+3 = 8，负步之和 = 1+1+1+5 = 8 ✓，且 7 个数字 {1, 3, 2, 5, 4, 7, 6} 正好是 1–7 各一次。
- 7.结论：(A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇) = (1, 3, 2, 5, 4, 7, 6)。
练一练
把 1–7 各用一次填入圆周 7 个位置（首尾相接），相邻差绝对值依次为 2, 1, 3, 1, 3, 1, 5（与原题相同）。若规定 A₁ = 7（而不是 1），请写出 A₂, A₃。