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#10186

奇偶性·操作可行性

五年级·数论·奇偶性

题目

桌上有 7 个硬币，全部正面朝上。每次操作必须翻转恰好 4 个硬币。经过若干次操作后，能否使所有硬币全部反面朝上？如果能，最少需要多少次操作？

解法

分析：初始 7 个正面（记为 7 个 1）。每次翻转 4 个硬币，若其中有 k 个 1，则翻转后 1 的个数变为 7 - k + (4 - k) = 11 - 2k。因为 2k 是偶数，所以 11 - 2k 的奇偶性与 11（奇数）相同。目标 0 个 1（偶数），奇偶性不同，无法实现。
初始 1 的个数
=7（奇数）
翻转后 1 的个数
=11 - 2k（奇数）
目标 1 的个数
=0（偶数）
结论
=奇偶性不同，无法实现

方法

奇偶性只看奇偶，不看数值。奇 + 奇 = 偶；奇 × 偶 = 偶；不变量一旦矛盾，题目即无解。

练一练

桌上有 9 个硬币，全部正面朝上。每次操作必须翻转恰好 5 个硬币。经过若干次操作后，能否使所有硬币全部反面朝下？

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