#10104

五圆连环阵·1 到 9

五年级杂题

#累加法#比较法

题目

如图，5 个圆连成一串：相邻两圆各共享 1 个位置（共 4 个『共享格』），其余每圆各有 1 个独占格（共 5 个『独占格』）。总位置数 = 5 + 4 = 9。把 1, 2, 3, …, 9 各用一次填入这 9 格，使每个圆内 2 个或 3 个位置上的数字之和都相等（最左、最右圆有 2 格：1 独占 + 1 共享；中间 3 个圆有 3 格：1 独占 + 2 共享）。请求出这个相等的圆和 S 的最小可能值与最大可能值。

5 个圆串联，相邻 2 圆共享 1 格

解法

1.分析：记 5 个独占格上的数为 a₁…a₅（分别属于第 1…5 圆），4 个共享格上的数为 s₁, s₂, s₃, s₄（s_i 属于第 i 与第 i+1 圆）。把 5 个圆的和相加：每个 s_i 算 2 次，每个 a_j 算 1 次。
5S = T + 45
T 为 5 的倍数 = T ∈ {10,15,20,25,30}
S ∈ = {11,12,13,14,15}
2.5S = 2·(s₁+s₂+s₃+s₄) + (a₁+…+a₅) = (s 和) + (1+2+…+9) = T + 45，其中 T = s₁+s₂+s₃+s₄。
3.T 的取值范围：从 9 个数中选 4 个做共享，最小 1+2+3+4 = 10，最大 6+7+8+9 = 30。
4.5S = T + 45 须整除：T + 45 ≡ 0 (mod 5) ⇒ T ≡ 0 (mod 5)。T ∈ {10, 15, 20, 25, 30}。
5.对应 S = (T+45)/5 = 11, 12, 13, 14, 15。所以 S 最小 11（T=10），最大 15（T=30）。
6.例：T = 10（共享 {1,2,3,4}），S = 11，各圆和都是 11；剩余 {5,6,7,8,9} 为独占。具体分配：独占顺序任意、共享按 s₁+s₂ = 11 − a₂, s₂+s₃ = 11 − a₃, s₃+s₄ = 11 − a₄ 等式链求解即可。

练一练

在五圆连环阵 (9 格) 中填 1–9 每数一次，所有圆和相等。最大 S 是多少？此时 4 个共享格上数字之和为多少？

5S	=	T + 45
T 为 5 的倍数	=	T ∈ {10,15,20,25,30}
S ∈	=	{11,12,13,14,15}