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#10102

双圆重叠·1 到 9

杂题四年级#累加法#比较法
题目

两个圆相交。左圆有 5 个位置，右圆有 5 个位置，两圆交集区域共 1 个位置（同时属于两圆）。

把 1, 2, 3, …, 9 每个数字各填入一个位置，要求左圆 5 数之和与右圆 5 数之和相等。

请问：交集位置上的数字必须满足什么条件？最大可能的圆和 S 是多少？

解法

  1. 分析：设交集位置上的数为 x。把左圆 5 数之和与右圆 5 数之和相加，x 被算了 2 次，其他 8 个数各算 1 次。

    2S
    =45 + x（交集数）
    x 必为奇数
    =x ∈ {1, 3, 5, 7, 9}
    最大 S
    =27（x = 9）

方法

累加法把所有行（或列、对角线）的和累加起来，用“总和的总和”反求单元格之和。比较法拿两条“和相等”的线作差，公共格子消掉，剩下的格子之间立刻出现一个等式。

练一练

如图，把 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这 9 个数字各用一次，填入两个相交圆的 9 个位置，使左圆 5 数之和与右圆 5 数之和相等。

求最小可能的圆和 S 是多少？此时交集位置填几？

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