四年级杂题
#累加法#比较法
题目
如图，两个圆相交。左圆有 5 个位置，右圆有 5 个位置，两圆交集区域共 1 个位置（同时属于两圆），所以总共 5 + 5 − 1 = 9 个位置。把 1, 2, 3, …, 9 每个数字各填入一个位置，要求左圆 5 数之和与右圆 5 数之和相等。请问：交集位置上的数字必须满足什么条件？最大可能的圆和 S 是多少？
解法
- 1.分析：设交集位置上的数为 x。把左圆 5 数之和与右圆 5 数之和相加，x 被算了 2 次，其他 8 个数各算 1 次。
2S = 45 + x（交集数） x 必为奇数 = x ∈ {1,3,5,7,9} 最大 S = 27（x = 9） - 2.2S = 2x + (所有 9 数之和 − x) = x + 45。
- 3.所以 2S = 45 + x，即 x 必须是奇数（才能让 45 + x 为偶数）。x ∈ {1, 3, 5, 7, 9}，对应 S = 23, 24, 25, 26, 27。
- 4.最大 S 出现在 x = 9，此时 S = 27；左圆其余 4 数和 = 27 − 9 = 18，右圆其余 4 数和 = 18；从剩下的 {1,…,8} 中可选如 {1,3,6,8}（和 18）、{2,4,5,7}（和 18）分别给左、右 4 个非交集位置。
练一练
两个相交圆各含 5 格，交集 1 格，共 9 格，填入 1–9 使两圆和相等。问最小的圆和 S 是多少？此时交集填几？