三年级杂题
#累加法#比较法
题目
如图，一个三角形有 3 个顶点和 3 条边上的中点，共 6 个位置。把 1, 2, 3, 4, 5, 6 这 6 个数字各用一次填入这 6 个位置，使三角形每条边上 3 个数（两个顶点 + 1 个中点）的和都相等。问：这个相等的边和 S 可能的取值有几种？请各写出一种填法。
解法
- 1.分析：每个顶点同时属于两条边，每个边中点只属于一条边。把 3 条边的和加起来，顶点各算 2 次，中点各算 1 次。
3S = V + 21 V 的可能值 = 6, 9, 12, 15 S 的可能值 = 9, 10, 11, 12 - 2.3S = 2·(顶点和) + (中点和) = (顶点和) + (顶点和 + 中点和) = (顶点和) + (1+2+…+6) = (顶点和) + 21。🔢× 4种 S 值
- 3.设顶点和为 V，则 3S = V + 21，所以 V 必须是 3 的倍数。
- 4.3 顶点从 {1,…,6} 中选，V 的可能值为 6（=1+2+3）、9（=1+2+6, 1+3+5, 2+3+4）、12（=1+5+6, 2+4+6, 3+4+5）、15（=4+5+6）——取其中是 3 的倍数的：V ∈ {6, 9, 12, 15}。
- 5.对应的 S = (V+21)/3 = 9, 10, 11, 12，共 4 种。
- 6.举例 S = 10（V = 9，顶点 {1,3,5}）：把 6, 4, 2 分配给各边的中点——边 (1,3) 缺 6，边 (1,5) 缺 4，边 (3,5) 缺 2。每边和都是 10。
练一练
三角形 3 顶点 + 3 边中点填入 1–6，使每边三数和相等。问最大 S 是多少？此时顶点填的是哪 3 个数？