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三角形数阵·1 到 6

题目

如图，把 1, 2, 3, 4, 5, 6 这 6 个数字各用一次，填入三角形的 3 个顶点和 3 条边的中点，使三角形每条边上 3 个数字（两端顶点 + 中点）之和都相等。

求这个公共边和 S 的所有可能取值。请各写出一种填法。

解法

分析：顶点各属 2 条边，中点各属 1 条边；三条边和相加得 3S = 2V + 中点和 = V + (V + 中点和) = V + 21（V 为顶点和）。

故 V 须是 3 的倍数。
从 {1, …, 6} 中取 3 个做顶点，V 恰能取 6, 9, 12, 15 四个 3 的倍数，对应 S = 9, 10, 11, 12，共 4 种。举例 S = 10（顶点 {1, 3, 5}）：边 (1,3)/(1,5)/(3,5) 的中点分别填 6/4/2，每边和均 10。
3S
=V + 21
V 的可能值
=6, 9, 12, 15
S 的可能值
=9, 10, 11, 12

三角形 3 顶点 + 3 边中点填入 1–6，使每边三数和相等。

问最大 S 是多少？此时顶点填的是哪 3 个数？