六年级杂题
#中心数法#累加法
题目
把 7 个分数 1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8 各用一次，填入如图 3 条过中心的直线上（1 个中心圆 + 3 × 2 = 6 个外围圆），使每条直线上 3 个分数之和都相等。请问：中心圆必须填哪一个分数？此时每条直线的和 S 等于多少？并给出一种完整的填法。
解法
- 1.分析：所有分数的分母都是 8，于是只需看分子。7 个分子为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。设中心分子为 c。3 条线的分子总和 = 3c + (28 − c) = 28 + 2c。
3·(8S) = 28 + 2·(8c) 中心分子 c ∈ = {1, 4, 7} 对应 S = 5/4 · 3/2 · 7/4 - 2.若每线分子和为 T，则 3T = 28 + 2c。T 必为整数，所以 28 + 2c 能被 3 整除 → 2c ≡ 2 (mod 3) → c ≡ 1 (mod 3)，即 c ∈ {1, 4, 7}。
- 3.进一步：每条线除中心外的两个外围分子和必须为 T − c，这两数在剩余 6 个分子中分三对，每对和为 T − c = (28 − c) / 3。该值需是整数，且 ≤ 7 + 6 = 13 且 ≥ 1 + 2 = 3。代入 c = 1, 4, 7 得每对和 = 9、8、7，都可行。
- 4.取 c = 1：每对和 = 9，剩余 {2,3,4,5,6,7} 分 3 对：{2,7}, {3,6}, {4,5}，每线 3 个分子：1+2+7, 1+3+6, 1+4+5，都等于 10；分数和 S = 10/8 = 5/4。
- 5.类似地 c = 4 给 S = 12/8 = 3/2；c = 7 给 S = 14/8 = 7/4。
练一练
在相同辐射阵中填入 7 个分数 1/8, 2/8, …, 7/8，每线三数和相等。问：最小的线和 S 是多少？