四年级杂题
#中心数法#累加法
题目
把 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 这 7 个数字各用一次，填入如图 3 条过中心的直线上（共 1 个中心圆 + 3 × 2 = 6 个外围圆，共 7 个位置），使每条直线上 3 个数字之和都相等。问：中心圆里可以填哪些数字？并各写出一种对应的填法。
解法
- 1.分析：中心圆被 3 条直线共用。把 3 条直线上的数字相加，中心数被算了 3 次，其他 6 个数各算 1 次。
3S = 28 + 2c 中心 c = 1 / 4 / 7 对应 S = 10 / 12 / 14 - 2.所以 3S = 3·c + (所有 7 数之和 − c) = 3c + (28 − c) = 28 + 2c。
- 3.S 必为整数，所以 28 + 2c 能被 3 整除，即 2c ≡ 2 (mod 3)，从而 c ≡ 1 (mod 3)，c ∈ {1, 4, 7}。
- 4.c = 1：S = 10，其余 {2,3,4,5,6,7} 分成 3 对和为 9：{2,7},{3,6},{4,5}。
- 5.c = 4：S = 12，其余 {1,2,3,5,6,7} 分成 3 对和为 8：{1,7},{2,6},{3,5}。
- 6.c = 7：S = 14，其余 {1,2,3,4,5,6} 分成 3 对和为 7：{1,6},{2,5},{3,4}。
练一练
在 3 条过中心的直线上（7 个位置）填入 1–7，各条直线三数和相等。问可能的最大和是多少？