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#10098

十字阵·双和值约束

杂题五年级#累加法#整体代换
题目

如图，把 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 这 10 个数字各用一次，填入十字形的 10 个格子（中心 1 格 + 横向 4 格 + 竖向 5 格）。

要求横向 5 个数字之和为 26，竖向 6 个数字之和为 30。问中心格必须填几？

解法

  1. 分析：设共用中心格填 c。把横排和竖排的数字加起来，中心格被算了 2 次，其他 9 个数各 1 次。

  2. 横和 + 竖和 = 26 + 30 = 56 = 2c + (所有 10 数之和 − c) = c + (1+2+…+10) = c + 55。

  3. 所以 c = 56 − 55 = 1。

  4. 结论：中心必须填 1。余下横 4 格和 = 26 − 1 = 25、竖 5 格和 = 30 − 1 = 29，从 {2,3,…,10} 中挑选验证存在。

    例如 横余 {2,5,8,10}（和 25），竖余 {3,4,6,7,9}（和 29）。

    横和 + 竖和
    =26 + 30 = 56
    = c + 55
    =
    c (中心)
    =1

方法

累加法把所有行（或列、对角线）的和累加起来，用“总和的总和”反求单元格之和。整体代换把反复出现的一段式子（或量）当作一个整体变量 t，把复杂关系压缩成对 t 的简单方程。

练一练

在同样的十字形 10 格中填 1–10，使横 5 数和 S₁ 与竖 6 数和 S₂ 相同。

问 S₁ 与中心 c 的关系是什么？若要求 c = 5，S₁ = S₂ = ?

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