#10097

多线辐射阵·1 到 13

五年级杂题

#中心数法#累加法

题目

把 1, 2, 3, …, 13 这 13 个数字各用一次，填入如图 4 条过中心的直线上（1 个中心圆 + 4 × 3 = 12 个外围圆，共 13 个位置），使每条直线上 4 个数字之和都相等。问：这个相等的和 S 有哪些可能的取值？

4 条过中心的直线，每线 4 格，共 13 个圆

解法

1.分析：设中心圆填 c。4 条直线上数字总和 = 中心 × 4 + 其余 12 数 × 1。
4S = 91 + 3c
c mod 4 = 3 → c ∈ {3,7,11}
S = 25, 28, 31
2.总和 1+2+…+13 = (1+13)·13/2 = 91，所以 4S = 4c + (91 − c) = 91 + 3c。
3.要求 S 为整数：91 + 3c 能被 4 整除。91 ≡ 3 (mod 4)，所以 3c ≡ 1 (mod 4)，即 c ≡ 3 (mod 4)。
4.c ∈ {3, 7, 11}，对应 S = (91+9)/4 = 25、S = (91+21)/4 = 28、S = (91+33)/4 = 31。
5.每种 c 时，需把剩余 12 个数分成 4 组（每组 3 数）每组和 = S − c。例如 c = 7, S = 28：每组 3 数和 = 21，从 {1,…,13}\{7} 中四组和为 21 的分法存在，比如 {1,8,12}, {2,6,13}, {3,9,?}（自行补全）——存在性可由组合验证。

在上述阵形中填 1–13，各条直线 4 数和 S 相同。问 S 的最小值是多少？此时中心填几？