#10097

多线辐射阵·1 到 13

题目

如图，把 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 这 13 个数字各用一次，填入 4 条过中心的直线上（1 个中心圆 + 4 × 3 = 12 个外围圆），使每条直线上 4 个数字之和都相等。

问中心圆必须填几？每条直线的和 S 是多少？

解法

分析：设中心圆填 c。4 条直线共享中心，4S = 中心算 4 次 + 其余 12 数算 1 次 = 4c + (91 − c) = 91 + 3c，其中 1+2+…+13 = 91。
分析模 4 条件：4 S 须为 4 的倍数，推导中心 c 的可能取值。
三种情形都能把剩下 12 个数分成 4 组（每组和 = S − c）实现：c = 3 取 {1,9,12}/{2,7,13}/{4,8,10}/{5,6,11}；c = 7 取 {1,9,11}/{2,6,13}/{3,8,10}/{4,5,12}；c = 11 取 {1,6,13}/{2,8,10}/{3,5,12}/{4,7,9}。
S 的所有可能取值为 25、28、31。
4S
=91 + 3c
c mod 4
=3 → c ∈ {3,7,11}
S
=25, 28, 31

在上述阵形中填 1–13，各条直线 4 数和 S 相同。

问 S 的最小值是多少？此时中心填几？