#10096

四线共心辐射阵·求中心

题目

如图，把 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这 9 个数字各用一次，填入 4 条过中心的直线上（1 个中心圆 + 8 个外围圆），使每条直线上 3 个数字之和都相等。

已知每条直线的和 S = 15。问中心圆必须填几？

解法

分析：中心圆被 4 条直线共用。把 4 条直线的数字之和加起来，中心被算 4 次，其他 8 个数各算 1 次。
4S = 4·c + (1+2+…+9 − c) = 4c + (45 − c) = 45 + 3c。
代入 S = 15：4 × 15 = 45 + 3c，即 60 = 45 + 3c，所以 c = 5。
中心填 5 后，其余 8 个数 {1,2,3,4,6,7,8,9} 必须两两配对，每对和为 15 − 5 = 10：{1,9}, {2,8}, {3,7}, {4,6}。
一种填法：水平 {1, 5, 9}，竖直 {2, 5, 8}，左上↘右下 {3, 5, 7}，左下↗右上 {4, 5, 6}。
4S
=45 + 3c
S = 15
=60 = 45 + 3c
c (中心)
=5

填 1–9 进 4 条过中心的直线，中心 1 个圆 + 8 个外围圆，要求每条线三数和相等。

问中心必须填几？该和等于多少？