#10160

方格计数·分类讨论

题目

如图，在一个 8×8 的方格表中，左上角和右下角的 4×4 区域被填色，其余区域为空白。分别统计：恰好有一半方格被填色的 2×2、4×4、6×6 子方格各有多少个？

8×8 方格表，左上和右下 4×4 区域填色

解法

分析：方格表被两条中线分成四个 4×4 象限，左上和右下全着色，右上和左下全空白。子方格的位置决定了它包含的着色格数量，需按子方格与中线的相对位置分类讨论。
2×2 子方格 = 跨越竖中线7个 + 跨越横中线7个 = 14个
4×4 子方格 = 同时跨越两条中线，共4个
6×6 子方格 = 以中心区域为顶点，共4个
按子方格与中线的相对位置分类计数
2×2 子方格：只有跨越中线（列3-4或行3-4）的子方格才有2着色2空白。跨越竖中线有7个（行0-6），跨越横中线有7个（列0-6），共14个。
= 142×2 子方格
+
= 44×4 子方格
+
= 46×6 子方格
答案：2×2 有 14 个，4×4 有 4 个，6×6 有 4 个
4×4 子方格：只有同时跨越两条中线（即以中心为顶点的四个位置）时才恰好8着色8空白。这四个位置是(0,2)、(0,3)、(2,0)、(3,0)，共4个。
6×6 子方格：只有以(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)为顶点时才恰好18着色18空白。共4个。

在一个 6×6 的方格表中，左上角和右下角的 3×3 区域被填色，其余区域为空白。恰好有一半方格被填色的 2×2 子方格有多少个？