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#10160

方格计数·分类讨论

题目

如图,在一个 8×8 的方格表中,左上角和右下角的 4×4 区域被填色,其余区域为空白。

分别统计:

  • 恰好有一半方格被填色的 2×2 子方格有多少个?
  • 恰好有一半方格被填色的 4×4 子方格有多少个?
  • 恰好有一半方格被填色的 6×6 子方格有多少个?

解法

  1. 分析:方格表被两条中线分成四个 4×4 象限,左上和右下全着色,右上和左下全空白。子方格的位置决定了它包含的着色格数量,需按子方格与中线的相对位置分类讨论。

  2. 2×2 子方格:只有跨越中线(列3-4或行3-4)的子方格才有2着色2空白。跨越竖中线有7个(行0-6),跨越横中线有7个(列0-6),共14个。

  3. 4×4 子方格:只有同时跨越两条中线(即以中心为顶点的四个位置)时才恰好8着色8空白。这四个位置是(0,2)、(0,3)、(2,0)、(3,0),共4个。

    6×6 子方格:只有以(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)为顶点时才恰好18着色18空白。共4个。

    2×2 子方格
    =跨越竖中线7个 + 跨越横中线7个 = 14个
    4×4 子方格
    =同时跨越两条中线,共4个
    6×6 子方格
    =以中心区域为顶点,共4个

方法

练一练

在一个 6×6 的方格表中,左上角和右下角的 3×3 区域被填色,其余区域为空白。

恰好有一半方格被填色的 2×2 子方格有多少个?

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