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#10158

网格计数·缺角4×4点阵中的正方形

计数五年级 #分类讨论 #枚举法

题目

如图，一个 4×4 的点阵（4 行 4 列共 16 个点），去掉两个对角的点后剩下 14 个点。

用这 14 个点中的 4 个点作为顶点，一共可以组成多少个不同的正方形？

解法

分析：正方形可分为两类：边与网格线平行的正方形（正向）和边倾斜的正方形（斜向）。分别计数后相加。
正向正方形按边长分类：1×1 的正方形有 7 个，2×2 的正方形有 2 个，3×3 的正方形有 0 个（因为缺角点导致无法构成）。共 9 个。
斜向正方形按中心位置分类：中心在整点位置的小斜正方形有 2 个，中心在半点位置的大斜正方形有 5 个。共 7 个。
总计 9 + 7 = 18 个正方形。
1×1 正方形
=7 个
2×2 正方形
=2 个
3×3 正方形
=0 个
正向小计
=9 个
中心在整点的斜正方形
=2 个
中心在半点的斜正方形
=5 个
斜向小计
=7 个
总计
=18 个

方法

分类讨论按关键特征把所有情况拆成互不重叠且覆盖全体的几类，逐类计算后相加。枚举法按某个顺序把所有可能性“走一遍”，保证不重不漏。

练一练

一个 3×3 的点阵（3 行 3 列共 9 个点），去掉中心点后剩下 8 个点。

用这 8 个点中的 4 个点作为顶点，一共可以组成多少个不同的正方形？

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