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#10154

正方形对角线序列·几何数列

五年级·几何·等比数列·勾股定理·规律发现

题目

如图，一串正方形的排列规律是：每个正方形的边长都等于前一个正方形的对角线长。已知第一个正方形的边长是1厘米，求第十一个正方形的边长是多少厘米？

正方形序列：每个正方形的边长等于前一个正方形的对角线长

解法

分析：边长为a的正方形，其对角线长为a√2。因此每个正方形的边长都是前一个的√2倍。
正方形边长a = 对角线 = a√2 勾股定理
公比r = √2 规律
首项a₁ = 1（厘米）
第n项aₙ = a₁ × r^(n-1) = (√2)^(n-1)
第11项a₁₁ = (√2)^10 = 2^5 = 32 结论
利用等比数列公式
这是一个等比数列，首项a₁ = 1，公比r = √2。
= 32第11个正方形边长（厘米）
32厘米
第n项公式：aₙ = a₁ × r^(n-1) = 1 × (√2)^(n-1)。
第11项：a₁₁ = (√2)^10 = (2^(1/2))^10 = 2^5 = 32（厘米）。

知识点

勾股定理直角三角形两直角边平方之和 = 斜边平方：a² + b² = c²。

练一练

一串正方形的排列规律是：每个正方形的边长都等于前一个正方形的对角线长。已知第一个正方形的边长是2厘米，求第八个正方形的边长是多少厘米？

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