题目
如图，在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 CA 的中点。AD 与 BE 相交于点 G（重心）。已知 AD 垂直于 BE，且满足 AG = 2DG，BG = 2EG。求（BC² + AC²）÷ AB² 的值。
解法
- 分析：取重心 G 为坐标原点。由 AG:GD = 2:1 和 BG:GE = 2:1，可设 A、B、D、E 的坐标。利用 AD ⟂ BE 确定坐标关系，再求出三边长。
A = (0, 2a) B = (−2b, 0) D（BC 中点） = (0, −a) E（CA 中点） = (b, 0) C = (2b, −2a) 以重心 G 为原点的坐标设定
- 设 G 为原点(0,0)。由 AG:GD = 2:1，设 A(0, 2a)，则 D(0, −a)；由 BG:GE = 2:1，设 B(−2b, 0)，则 E(b, 0)。
AB² = 4b² + 4a² AC² = 4b² + 16a² BC² = 16b² + 4a² BC² + AC² = 20b² + 20a² （BC² + AC²）÷ AB² = 5 答案 边长计算与最终比值
- 由 D 是 BC 中点，得 C = 2D − B = (2b, −2a)；由 E 是 CA 中点验证：E = (C + A)/2 = (b, 0)，符合设定。（BC² + AC²）÷ AB²=5📐
- 计算三边长：AB² = 4b² + 4a²，AC² = 4b² + 16a²，BC² = 16b² + 4a²。
- （BC² + AC²）÷ AB² = (16b² + 4a² + 4b² + 16a²) ÷ (4b² + 4a²) = (20b² + 20a²) ÷ (4b² + 4a²) = 5。
练一练
在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 CA 的中点。AD 与 BE 相交于点 G。已知 AD 垂直于 BE，且 AG = 3DG，BG = 3EG。求（BC² + AC²）÷ AB² 的值。