#10185

整除特征·多重约束

题目

在五位数 3A7B0 中，A、B 各代表一个数字。已知这个五位数能同时被 3、4、5 整除，求 A + B 的最大值。

解法

分析：被 5 整除 ⇒ 个位是 0（题目已固定）。被 4 整除 ⇒ 末两位 B0 能被 4 整除，即 B0 ÷ 4 为整数。检验 B 的取值：B0 能被 4 整除的 B ∈ {0, 2, 4, 6, 8}。最大 B = 8。
被 3 整除 ⇒ 数字和 3 + A + 7 + B + 0 = 10 + A + B 是 3 的倍数。当 B = 8 时，18 + A 是 3 的倍数，A ∈ {0, 3, 6, 9}，最大 A = 9。 A + B 的最大值 = 9 + 8 = 17。对应五位数 39780，验证：39780 ÷ 3 = 13260 ✓，39780 ÷ 4 = 9945 ✓，39780 ÷ 5 = 7956 ✓。
B 末两位 ÷4 结论
0 “00” ✓
2 “20” ✓
4 “40” ✓
6 “60” ✓
8 “80” ✓
被 5 整除
=个位固定为 0 ✓
被 4 整除
=B ∈ {0, 2, 4, 6, 8}，最大 B = 8
被 3 整除
=10 + A + B 是 3 的倍数
B = 8 时
=18 + A 是 3 的倍数，A ∈ {0, 3, 6, 9}
最大 A + B
=9 + 8 = 17

在五位数 2A9B0 中，A、B 各代表一个数字。已知这个五位数能同时被 3、4、5 整除，求 A × B 的最大值。