#10168

分数与小数混合运算·裂项法

题目

计算：1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30

解法

分析：分母都是连续两个自然数的乘积，用裂项公式 1/(n×(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)。
1/2 = 1 − 1/2
1/6 = 1/2 − 1/3
1/12 = 1/3 − 1/4
1/20 = 1/4 − 1/5
1/30 = 1/5 − 1/6
裂项变形
原式 = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + (1/4 − 1/5) + (1/5 − 1/6) = 1 − 1/6 = 5/6。
原式 = 1 − 1/2 + 1/2 − 1/3 + 1/3 − 1/4 + 1/4 − 1/5 + 1/5 − 1/6
= = 1 − 1/6
= = 5/6
中间项抵消

计算：1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + ... + 1/9×10