一道 / edao.plus
#10028

计算·分数裂项

六年级计算分数裂项
#抵消
题目

计算：1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30

解法

  1. 1.观察分母的结构：2=1×2， 6=2×3， 12=3×4， 20=4×5， 30=5×6，每个分母都是两个相邻整数的乘积。
    2=1 × 2
    6=2 × 3
    12=3 × 4
    20=4 × 5
    30=5 × 6

    每个分母都是 n×(n+1) 的形式

  2. 2.裂项公式：1/(n × (n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1)，即一个分数可以写成两个相邻单位分数的差。
    0
    1/3
    1/2
    1
    1/6 = 1/2 − 1/3

    以 1/6 为例：它正好是数轴上 1/3 到 1/2 的距离

  3. 3.把每一项按公式分裂：1/2 = 1 − 1/2， 1/6 = 1/2 − 1/3， 1/12 = 1/3 − 1/4， 1/20 = 1/4 − 1/5， 1/30 = 1/5 − 1/6。
    0
    1/6
    1/4
    1/3
    1/2
    1
    1/30
    1/20
    1/12
    1/6
    1/2

    五段长度首尾相接，整体覆盖了 1/6 到 1 这一整段

  4. 4.相加后，中间的 1/2、1/3、1/4、1/5 都一正一负互相抵消，只剩下首项 1 与尾项 −1/6。
    1/2=+1 −1/2留 +1
    1/6=+1/2 −1/3抵消
    1/12=+1/3 −1/4抵消
    1/20=+1/4 −1/5抵消
    1/30=+1/5 −1/6留 −1/6

    高亮行的两端（+1 与 −1/6）保留，中间三项两两抵消

    ±1/2、±1/3、±1/4、±1/5 成对出现，和为 0

  5. 5.原式 = 1 − 1/6 = 5/6。
    × 1首项
    →
    × 1/6尾项
    →
    × 5/6结果

    1 − 1/6 = 6/6 − 1/6 = 5/6

练一练

计算：1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56