#10157

三等分正方形·阴影面积

题目

如图，一个边长为10厘米的正方形，每条边被三等分。

将每个顶点与对边的一个三等分点连接，四条连接线围成一个旋转的四边形（阴影部分）。

求阴影部分的面积是多少平方厘米？

解法

分析：总面积 = 10 × 10 = 100 平方厘米。计算四个角三角形的面积。以 A 角为例，三角形由 AD 和 AH 构成，底 AD=10，高为 H 到 AD 的距离=10/3。

一个三角形面积 = 10 × (10/3) ÷ 2 = 50/3。
四个三角形总面积 = 4 × 50/3 = 200/3。
阴影四边形 PQRS 是正方形，其顶点 P(9,3)、Q(7,9)、R(1,7)、S(3,1) 可通过相似三角形求得。边长 PQ = √[(9-7)² + (3-9)²] = √(4+36) = √40 = 2√10。
正方形边长
=10
阴影正方形边长
=2√10
阴影面积
=(2√10)² = 40

一个边长为12厘米的正方形，每条边被三等分。

将每个顶点与对边的一个三等分点连接，四条连接线围成一个旋转的四边形（阴影部分）。求阴影部分的面积是多少平方厘米？