四年级杂题
#累加法
题目
如图，一个正方形的 4 个顶点 + 4 条边的中点共 8 个位置。把 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 这 8 个数字各用一次填入这 8 个位置，使正方形每条边上 3 个数（两端顶点 + 1 个中点）的和都相等。问：这个相等的边和 S 可能的取值有几种？最大是多少？
解法
- 1.分析：每个顶点被 2 条边共用，每个中点只被 1 条边共用。将 4 条边的和相加，顶点各算 2 次、中点各算 1 次。
4S = V + 36 V ∈ = {12, 16, 20, 24} S ∈ = {12, 13, 14, 15} - 2.4S = 2·(顶点和) + (中点和) = (顶点和) + (顶点和 + 中点和) = (顶点和) + (1+2+…+8) = V + 36。🔢× 4种 S 值+⬆️× 15最大 S
- 3.其中 V 为 4 个顶点的和。于是 V = 4S − 36，V 必为 4 的倍数偏移量 = 能使 V 整数。
- 4.V 的取值范围：最小 1+2+3+4 = 10，最大 5+6+7+8 = 26；同时 V 必须让 4S = V + 36 被 4 整除，即 V 被 4 整除，V ∈ {12, 16, 20, 24}。
- 5.对应 S = (V+36)/4 = 12, 13, 14, 15，共 4 种；最大 S = 15（V = 24，顶点 = {3,6,7,8} 或 {4,5,7,8} 等）。
练一练
正方形 4 顶点 + 4 边中点填入 1–8，每边三数和相等。问最小 S 是多少？此时 4 个顶点的和 V 等于多少？