#10085

三阶幻方·1 到 9 填九宫

题目

把 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这 9 个数字各用一次，填入 3 × 3 方格中，使每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等。

问：每行（列、对角线）的三数之和是多少？并给出一种具体的填法。

解法

分析：过中心的 4 条线（中行、中列、两对角）共 4S。每条都含中心格，其余 8 格各算 1 次，所以 4S = 4·中 + (45 − 中) = 45 + 3·中。
1+2+…+9 = 45，故 3S = 45，S = 15；代入 45 + 3·中 = 60 ⇒ 中 = 5。
1+2+…+9
=45
3S
=45
S
=15
45 + 3·中 = 4S
=60
中
=5
以 5 为中心，关于其对称的一对角或一对边中之和必为 10。

剩下的数配成 4 对：1+9=10, 2+8=10, 3+7=10, 4+6=10，每对填在关于中心对称的位置。
进一步：四个角必须是偶数。若角是奇数，则其对边也是奇数（因为两数和为 10），会导致某条线上三个奇数之和为奇数≠15（矛盾）。

故四角填 2, 4, 6, 8，边上填 1, 3, 7, 9。按配对原则可得填法 2 7 6 / 9 5 1 / 4 3 8。
276951438

在 3×3 的九宫格中填入 1 到 9，每个数字恰用一次，使每行、每列、两条对角线上三个数之和都相等。这个公共和是多少？中心格必须填的数是多少？