六年级杂题
#递推法#容斥原理#枚举法
题目
有 4 封信分别写给 4 位不同的收信人，对应有 4 个编号的信封（第 i 封信的“正确信封”就是编号为 i 的那个）。现在把这 4 封信装进 4 个信封里，每个信封恰好装 1 封。要求每封信都装错——即 4 封信全部都没有装进自己的正确信封。一共有多少种装法？
解法
- 1.把“第 i 个信封里装的是哪封信”记为一行：信封 1/2/3/4 对应的信编号。
信封 1 装信 2 = 3 种 信封 1 装信 3 = 3 种 信封 1 装信 4 = 3 种 合计 = 3 + 3 + 3 = 9 结论 按信封 1 装的信号分类
- 2.要求每个位置上的编号都与信封编号不同。✉️× 9种全错装法
4 封信全部装错：9 种
- 3.按信封 1 装的是哪封信分类：可以是信 2、信 3 或信 4。
- 4.若信封 1 装信 2：信封 2 不能装信 2，剩下信 1、3、4 中任选给信封 2，再看后两个信封——枚举可得 3 种：(2,1,4,3)、(2,3,4,1)、(2,4,1,3)。
- 5.若信封 1 装信 3：同样枚举得 3 种：(3,1,4,2)、(3,4,1,2)、(3,4,2,1)。
- 6.若信封 1 装信 4：枚举得 3 种：(4,1,2,3)、(4,3,1,2)、(4,3,2,1)。
- 7.合计 3 + 3 + 3 = 9 种装法。
练一练
5 封信分别对应 5 个信封，要求每封信都装错（没有任何一封放入自己的信封），共有多少种装法？