五年级计数
#隔板法
题目
把 10 个完全相同的苹果分给 3 个小朋友，要求每个小朋友至少分到 1 个苹果。一共有多少种不同的分法？
解法
- 1.分析：苹果相同（不用区分哪个给哪个，只关心“每人几个”），小朋友不同；还要求每人至少 1 个。相同物品的分配问题可以用“在物品之间插挡板分段”来计数。
在 10 个苹果形成的 9 个空隙里放 2 块隔板，把苹果切成 3 段
- 2.把 10 个相同的苹果排成一排：🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎。
苹果排成一排 = 10 个 → 9 个空隙 放 2 块隔板 = C(9, 2) 分法总数 = C(9, 2) = 9×8÷2 = 36 结论 隔板法：n 个物品、k 人至少 1 个 → C(n−1, k−1)
- 3.苹果之间形成 9 个空隙（两端不算，因为每人至少要分到 1 个）。🍎× 36种分法
每人至少 1 个，共 36 种
- 4.要把苹果分给 3 个小朋友，只需在这 9 个空隙中放入 2 块相同的隔板，把苹果切成 3 段。
- 5.每一种放隔板的方式对应一种分法：从 9 个位置里选 2 个放隔板，共 C(9, 2) 种。
- 6.计算：C(9, 2) = 9 × 8 ÷ 2 = 36，所以一共有 36 种不同的分法。
练一练
把 12 个完全相同的练习本分给 4 个同学，每人至少 1 本，一共有多少种不同的分法？