六年级应用题浓度问题
#逆向推理#二次方程#还原问题#迎春杯
题目
一桶浓度为 80% 的酒精溶液。第一次倒出 20 升，再用水加满；第二次倒出 30 升，再用水加满。此时桶内酒精浓度降为 40%。桶的容量（原来酒精溶液的体积）是多少升？
解法
- 1.设桶容量为 V 升。每次「倒出 m 升 + 加水加满」后，桶内总体积仍是 V，但酒精按比例减少：酒精保留比例 = (V − m) / V。
设原来体积 = V 升，浓度 80% 第一次保留 = (V - 20) / V 第二次保留 = (V - 30) / V 最终浓度 = 80% × (V-20)/V × (V-30)/V = 40% 化简 = (V-20)(V-30) / V² = 0.5 根据操作过程列出方程
- 2.第一次倒 20 升：酒精保留比例 = (V − 20) / V。
根据操作顺序列出方程，解二次方程求 V
- 3.第二次倒 30 升：酒精保留比例 = (V − 30) / V。🧪× 86.06原来体积（升）
原来约有 86.06 升，浓度为 80%
- 4.两次之后总保留比例 = (V − 20)(V − 30) / V²。
- 5.由浓度从 80% 降到 40%，即保留一半：(V − 20)(V − 30) / V² = 40% / 80% = 1/2。
- 6.交叉相乘：2(V − 20)(V − 30) = V² ⇒ V² − 100V + 1200 = 0。
- 7.求根：V = (100 ± √(100² − 4·1200)) / 2 = (100 ± √5200) / 2 = 50 ± 10√13。
- 8.数值上约为 V ≈ 86.06 或 V ≈ 13.94。
- 9.第二次要倒出 30 升，必须 V > 30，故舍去 13.94。
- 10.桶容量 V ≈ 86.06 升（精确值 50 + 10√13）。
练一练
一桶 80% 的酒精溶液共 40 升。第一次倒出 10 升再用水加满；第二次倒出 20 升再用水加满。最终浓度是多少？（填百分数，如 30）