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#10047

完全平方数·因数个数

数论六年级#完全平方数
题目

一个自然数的因数个数是奇数，这个数在 100 到 200 之间。

这样的数有哪些？

解法

  1. 因数个数为奇数 ⇔ 完全平方数。

    100~200 间的完全平方数：10²=100, 11²=121, 12²=144, 13²=169, 14²=196。

    数因数成对因数个数结论
    36“1×36,2×18,3×12,4×9,6×6”✗9个(奇)
    48“1×48,2×24,3×16,4×12,6×8”✓10个(偶)
    10²
    11²
    12²
    13²
    14²

方法

完全平方数可以写成某个整数平方的数：1, 4, 9, 16, 25, …。等价刻画：所有质因数的指数都是偶数。

练一练

200 以内，因数个数为奇数的自然数有多少个？

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