#10025

韩信点兵·余同问题

六年级数论同余问题

#最小公倍数#韩信点兵#枚举法

题目

一筐鸡蛋，1个1个拿正好拿完；2个2个拿剩1个；3个3个拿剩1个；4个4个拿剩1个；5个5个拿剩1个；6个6个拿剩1个；7个7个拿正好拿完。问这筐鸡蛋最少有多少个？

解法

1.翻译条件：鸡蛋数 N。
余数=1
公倍数=60
N−1 的取值 (60的倍数)
N = 60k + 1 (k为自然数)
2.N 除以 2, 3, 4, 5, 6 都余 1。这意味着 N − 1 能被 2, 3, 4, 5, 6 整除。
k N = 60k+1 是7的倍数？结论
1 “61” ✗
2 “121” ✗
3 “181” ✗
4 “241” ✗
5 “301” ✓
枚举检验：当 k=5 时，N=301 能被 7 整除
3.N − 1 是 2, 3, 4, 5, 6 的公倍数。最小公倍数 [2, 3, 4, 5, 6] = 60。
× 301最少鸡蛋数
验证：301 ÷ 2 = 150...1；...；301 ÷ 7 = 43
4.所以 N − 1 = 60k (k 为整数)，即 N = 60k + 1。
5.同时，N 必须能被 7 整除。
6.从小到大尝试 k 的值：k=1, N=61 (61 ÷ 7 不整除)；k=2, N=121 (121 ÷ 7 不整除)；k=3, N=181 (181 ÷ 7 不整除)；k=4, N=241 (241 ÷ 7 不整除)；k=5, N=301 (301 ÷ 7 = 43 整除)。
7.满足条件的最小 N 为 301。

k	N = 60k+1	是7的倍数？
1	“61”	✗
2	“121”	✗
3	“181”	✗
4	“241”	✗
5	“301”	✓

一叠卡片，3张3张数余2张，5张5张数余2张，7张7张数余2张，最少有多少张？