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#10162

最大公约数·和的分解

六年级·数论
题目

两个自然数的最大公约数是 12，这两个数的和是 120。求这两个数。

解法

  1. 分析：设两数为 12a 和 12b，其中 a、b 互质。则 12a + 12b = 120，即 a + b = 10。
    设两数为=12a, 12b（a、b互质）
    由和得=12a + 12b = 120 ⇒ a + b = 10
    互质数对=(1,9), (3,7), (7,3), (9,1)
    对应两数=(12,108), (36,84), (84,36), (108,12)答案

    枚举互质数对，转化为 a + b = 10 的分解问题

  2. 枚举互质的正整数对 (a, b) 满足 a + b = 10：(1, 9)、(3, 7)、(7, 3)、(9, 1)。
  3. 对应的两数对为 (12, 108)、(36, 84)、(84, 36)、(108, 12)，共 4 组解。

练一练

两个自然数的最大公约数是 15，这两个数的和是 90。求这两个数。

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