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#10082

抢数游戏·必胜首着

杂题四年级#逆向推理
题目

甲、乙两人轮流报数：甲先报，乙接着报。每人每次可以连着报 1 个、2 个或 3 个连续的自然数（例如上一次报到 7，这次可以只报 8，也可以报 8、9 或 8、9、10）。

从 1 开始报起，谁报到 30，谁就获胜。问甲（先手）能否必胜？他第一次应当报到几？

解法

  1. 分析：每人每次能推进 1、2 或 3 个数，两人一轮的净推进恒为 4。从终点 30 每次倒退 4 可得一系列制胜点——谁报到它，以后都能用“补 4”策略占据下一个制胜点。

    制胜点（从 30 倒退）
    =30, 26, 22, 18, 14, 10, 6, 2
    甲首着应报到
    =2（即 “1, 2”）
    之后每轮补齐到 4 个
    =乙 k 个 → 甲 (4−k) 个

  2. 先手甲第一次报到最小制胜点 2（即报 1, 2）即可。之后乙报 k 个，甲补 4 − k 个，必胜。

方法

逆向推理从结果倒着走回起点：每一步都反着做那一步的运算。

练一练

规则相同，改为从 1 开始报数，谁先报到 20 谁胜；每人每次报 1 或 2 个连续数。先手必胜时，第一次应报到几？

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