#10080

拆数乘积最大·20 的拆分

题目

把正整数 20 拆成若干个正整数之和（拆成几个都可以，顺序不计），

使得这些正整数的乘积尽可能大。最大的乘积是多少？

解法

分析（交换论证）：若某加数 a ≥ 4，把它换成 2 + (a−2) 乘积变为 2(a−2) ≥ a，且 a > 4 时严格变大；加数 1 则可与相邻 x 合并成 x + 1（乘积由 x 增至 x + 1），故最优拆分每个加数只能是 2 或 3。同和情况下 3 × 3 = 9 > 2 × 2 × 2 = 8，所以尽量多用 3。
20 ÷ 3 = 6 余 2，正好剩 2，直接写 20 = 3 × 6 + 2。

最大乘积 = 3⁶ × 2 = 729 × 2 = 1458。
拆法 20 = 3+3+3+3+3+3+2
=3⁶ · 2 = 1458
对比 4+4+4+4+4
=4⁵ = 1024
对比 5+5+5+5
=5⁴ = 625
对比全是 2（10 个 2）
=2¹⁰ = 1024

把正整数 19 拆成若干个正整数之和，使乘积最大。最大乘积是多少？