六年级应用题浓度问题
#多次操作#归纳递推#指数衰减#华杯
题目
容器中有浓度为 a% 的酒精溶液 100 克。每次操作：倒出 25 克溶液，再加入 25 克水。经过 3 次操作后，浓度变为 27%。求原来浓度 a%。
解法
- 1.每次操作倒出 25 克溶液，再加 25 克水，溶液总量始终保持 100 克。
每次保留比例 = (100 − 25) ÷ 100 = 3/4 3 次后保留比例 = (3/4)³ = 27/64 列方程 = a% × 27/64 = 27% 求解 = a% = 27% × 64/27 = 64% 用衰减公式一步到位求出原浓度
- 2.倒出的 25 克里，酒精和水按当前浓度同比例减少，所以每次操作后酒精质量 = 原来的 (100−25)/100 = 3/4。初始浓度 a%64第 1 次后48第 2 次后36第 3 次后27
每次浓度变为原来的 3/4，3 次后 64% → 48% → 36% → 27%
- 3.溶液总量不变，因此每次操作后浓度也变为原来的 3/4。🧪× 64%原来浓度 a%
a% = 27% ÷ (3/4)³ = 64%
- 4.3 次操作后，浓度 = a% × (3/4)³ = a% × 27/64。
- 5.由 a% × 27/64 = 27%，得 a% = 27% × 64/27 = 64%。
- 6.答：原来浓度为 64%。
练一练
100 克酒精溶液，每次倒出 20 克加水，2 次后浓度变为原来的 64%。求每次保留比例。