五年级杂题
题目
甲、乙两人在一张圆形的桌面上轮流放置同一种大小的圆形硬币。每枚硬币都必须平放在桌面上，不能重叠、也不能放到桌外；甲先放，乙后放，如此交替。最后一个能再放下一枚硬币的人获胜（对方轮到时再也放不下，就算输）。请问甲是否有必胜策略？如果有，请说明第一步怎么放。
解法
- 1.分析：圆形桌面的一个重要几何特征是“关于圆心对称”——桌上任一点 P，都存在关于圆心对称的点 P'，且 P 与 P' 到圆心的距离相同，P' 仍在桌面上。更重要的是，P 附近的一圈区域与 P' 附近的一圈区域完全对称。利用这个对称性，就可以构造先手的必胜策略。
第 1 步（甲） = 硬币放在圆心 之后（甲） = 把乙刚放位置 P 作中心对称到 P'，放在 P' 局面的不变量 = 每当轮到乙时，桌面关于圆心对称 先无处放的一方 = 乙 乙输 先放中心，再模仿对称
- 2.甲的第一步：把一枚硬币正好放在圆桌中心。由于硬币自身是圆的，它关于圆心也是对称的，这一枚硬币“把中心自己占了”。🏅× 先手甲必胜
策略结论
- 3.此后只要乙能把一枚硬币放在某点 P，那么关于圆心对称的点 P' 处一定也没有硬币（因为之前放过的每一枚都有“对称副本”），于是甲只需模仿着在 P' 放一枚即可。
- 4.这样每当轮到乙时，桌面上的硬币都关于圆心对称；乙每成功放一枚，甲一定能放出它的对称副本。
- 5.因此当某一方先无处可放时，一定是乙——桌面在乙的回合里对称，乙找到的空位 P 必定有对称空位 P'，如果乙放了 P，甲又能补 P'；若乙放不下 P，说明桌面上没有任何空位供他使用，那他已经输了。
- 6.结论：先手甲必胜，策略是第一步把一枚硬币放到圆桌正中心，之后对乙每一步都做中心对称的镜像。
练一练
把上题桌子换成“长方形”桌面，其他规则不变（两人轮流放同样大小圆形硬币，最后放下一枚者胜）。请问先手甲是否有必胜策略？