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#10083

圆桌放币·对称策略

杂题五年级#不变量
题目

甲、乙两人在一张圆形的桌面上轮流放置同一种大小的圆形硬币。每枚硬币都必须平放在桌面上，不能重叠、也不能放到桌外；甲先放，乙后放，如此交替。

最后一个能再放下一枚硬币的人获胜（对方轮到时再也放不下，就算输）。请问甲是否有必胜策略？

解法

  1. 分析：圆形桌面关于圆心中心对称，硬币也是圆的。甲先放圆心，使桌面保持对称。

  2. 乙每放 P，甲就在对称点 P' 放一枚。

  3. 轮到乙时桌面必对称，若乙能放 P，则 P' 必空，甲总有对应空位。

  4. 先无处可放的必是乙，故甲必胜。

方法

不变量找一个“无论怎么操作都不变”的量，当目标状态里这个量变了，就说明不可能达成。

练一练

把上题桌子换成"长方形"桌面，其他规则不变（两人轮流放同样大小圆形硬币，最后放下一枚者胜）。

请问先手甲是否有必胜策略？

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